2011年全国初中数学竞赛试题及答案（练习检测试题卷）.docVIP

“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛 （天津赛区）试题参考答案及评分标准 一、选择题（共5小题，每小题分，满分3分） ，则代数式的值为( ). （A）0（B）1（C）﹣1（D）2 于是 （2）已知为实数，且满足，，则的最小值为（A）（B）0（C）5（D） 可得 于是 ． 因此，当时，的最小值为． （3）若，，且满足，则的值为( ). （A）1 （B）2 （C） （D） 【答】C． 解：由题设可知，于是 ，所以． 故，从而．于是． （4）设，则的整数部分等于( ). （A）4 （B）5 （C）6 （D）7 【答】A． 解：当，因为， 所以． 于是有，故的整数部分等于4． （5）点分别在△的边上，相交于点，设， 则与的大小关系为( ). （A） （B） （C） （D）不能确定 【答】C． 解：如图，连接，设， 则，从而有．因为，所以． 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）（其中），斜边长是的直角三角形的个数为 . 【答】31． 解：由勾股定理,得 ．因为b是整数，，所以是1到4023之间的奇数，而且是完全平方数，这样的数共有31个，即．因此a一定是3，5，…，6331． （7）一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，41，3，4，5，6，87的概率是 . 【答】． 解： 在36对可能出现的结果中，有6对：（1，6）， （2，5）， （2，5）， （3，4），（3，4），（4，3）的和为7，所以两数之和为7的概率是的最大值为a，最小值为b，则的值为 . 【答】． 解：由≥0，且≥0，得≤≤． ． 由于，所以当时，取到最大值1，故． 当或1时，取到最小值，故．所以，． （9）如图，双曲线（x＞0）与矩形OABC边 BA分别交于点E，F则△OEF的面积． 解：如图，设点B的坐标为,则点的坐标为.因为点在双曲线上，所以 又点在双曲线上，且纵坐标 为，所以点的坐标为.于是 （10）如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为35，正方形CDEF内接于△ABC，且其边长为12，则△ABC的周长为 . 【答】84． 解：如图，设BC＝a，AC＝b， 则＝1225． ① 又Rt△AFE∽Rt△ACB， 所以，即， 故． ② 由①②得 ， 解得a＋b＝49（另一个解－25． 三、解答题（共4题，每题20分，共80分） 的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值. 解：设方程的两个根为，其中为整数，且≤， 则方程的两根为，由题意得 ， ………………………………5分，即 ， 所以， 或 ………………………………10分 或 又因为 所以；或者， 故，或29. ………………………………………………20分（12）如图，点为△的垂心，以为直径的⊙和△的外接圆⊙相交于点，延长交于点， 求证：点为的中点. 证明：如图，延长交⊙于点， 连接. 因为为⊙的直径， 所以∠∠．…………5分为⊙的直径. 于是. ……………………………………………………10分为△的垂心，所以 所以∥，∥， 四边形为平行四边形. ………………………………………………15分为的中点. ………………………………………………20分（13） 如图，点为轴正半轴上一点，两点关于轴对称，过点任作直线交抛物线于，两点. （）求证：∠=∠； （）若点的坐标为（0，1），且∠=60o，试求直线的函数解析式（）作轴的垂线，垂足分别为. 设点的坐标为（0，），则点的坐标为（0，-）. 设直线的函数解析式为, 并设的坐标分别为 ,. 由 得， 于是 ，即 .于是， …………5分，所以. 因为∠∠，所以△∽△. 故∠=∠. …………………………………………………………10分（），，不妨设≥0， 由（）=∠，=，=， 所以 =，=. 因为∥，所以△∽△. 于是，即．所以． 由（），即，所以 于是，可求得 . 将代入，得到点的坐标（，）. …………………15分的坐标代入，求得 . 所以直线的函数解析式为. 根据对称性知， 所求直线的函数解析式为，或. ………………20分的函数解析式为,其中. 由（=∠，所以. 故 . 将代入上式，平方并整理得 ，即. 所以 或. 又由（），. 若代入上式得 从而 . 同理，若 可得 从而 . 所以，直线的函数解析式为 ，或. ………………………………………20分，且，证明：中一定存在两个数，使得．