上海工程技术大学计算方法课件Chapter2_2_Newton插值.ppt

§4 牛顿插值  /*Newton’s Interpolation*/ Lagrange 插值虽然易算，但若要增加一个节点 时，全部基函数 li(x) 都需要重新计算。 差商(亦称均差) /* divided difference */ 差商表 . xk f(xk) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 …… n 阶差商 一般地,称k阶差分的差分为k+1阶差分,如二阶向前和向后差分分别为 计算各阶差分可按如下差分表进行 (差分与差商的关系): 给定f(x)在等距节点上的函数值表如下: xi 0.4 0.6 0.8 1.0 f(xi) 1.5 1.8 2.2 2.8 分别用Newton向前和向后差分公式求f(0.5)及f(0.9)的近似值. * 能否重新在Pn中寻找新的基函数 ？ 希望每加一个节点时，只附加一项上去即可。 是否构成Pn的一组基函数？ 一、插值基函数 (1)不难证明函数组线性无关 (2)Pn中任意元素可由该函数组线性表示 设p(x)∈Pn(x) 令 分别取x=x0,x1,…,xn得到关于A0, A1,…, An的线性方程组: 当xj 互异时，系数矩阵非奇异，且容易求解 How complex the expression are! It is not a difficult thing for a mathematician. We can use notation 二、差商 称为在xi, xj处的1阶差商 称为在xi, xj, xk处的2阶差商 k阶差商： 定义1 利用插值条件和差商,可求出Nn(x)的系数Ai : …… …… 三、插值多项式的构造 因此，每增加一个结点，Newton插值多项式只增加一项，克服了Lagrange插值的缺点。 …… 给定f(x)=lnx的数据表 xi 2.20 2.40 2.60 2.80 3.00 f(xi) 0.78846 0.87547 0.95551 1.02962 1.09861 1. 构造差商表 2. 分别写出二次、四次Newton插值多项式 差商表 例1 解 -0.00755 0.01646 -0.06400 0.34495 1.09861 3.00 0.02250 -0.073875 0.37055 1.02962 2.80 0.087375 0.40010 0.95551 2.60 0.43505 0.87547 2.40 0.78846 2.20 四阶差商 三阶差商 二阶差商 一阶差商 f[xi] xi N4(x)= 0.78846 +0.43505(x-2.20） - 0.087375(x-2.20)(x-2.40) +0.0225(x-2.20)(x-2.40)(x-2.60) -0.00755(x-2.20)(x-2.40)(x-2.60)(x-2.80) N2(x)=0.78846 +0.43505(x-2.20) –0.087375(x-2.20) (x-2.40） (差商与函数值的关系) （对称性）：差商的值与结点排列顺序无关 (差商与导数的关系) 性质1 性质2 性质3 四、差商具有如下性质 设f(x)在[a,b]上有n+1阶导数且x0,x1,…xn, x∈ [a,b] 则存在ξ∈[a,b]使得 1 2 … … … … n?1 1 + (x ? x0) ? 2 + … … + (x ? x0)…(x ? xn?1) ? n?1 Nn(x) Rn(x) Ai = f [ x0, …, xi ] 证明 Newton插值多项式的余项为 Rn(x)= f[x0 ,x1,… xn, x] ?n+1(x) 其中?n+1(x)=(x - x0)(x - x1 )…(x - xn) 由插值多项式的唯一性可知 Nn(x) ? Ln(x)， 故其余项也相同，即 定理1 五、插值余项 §5 等距节点的Newton插值公式 一阶向前差分 /* forward difference */ 一阶向后差分 /* backward difference */ 一阶中心差分 /* centered difference */ 当节点等距