2017福建省高中数学竞赛预赛试题.docVIP

2017年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛 暨2017年福建省高中数学竞赛试卷参考答案 （考试时间：2017年5月21日上午9：00－11：30，满分160分） 一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上） 1．已知集合，，若，则实数的取值范围为 。 【答案】 【解答】由，得，，。 由，得，，。 若，则或，或。 ∴ 时，的取值范围为。 2．已知是定义在上的奇函数，且函数为偶函数，当时，，则 。 【答案】 【解答】由函数为偶函数，知。 又为奇函数， ∴ ，。 ∴ 。 3．已知为等比数列，且，若，则 。 【答案】 【解答】由知，。 ∵ 为等比数列，且， ∴ 。 ∴ 。 ∴ 。 ∴ 。 4．将8个三好生名额分配给甲、乙、丙、丁4个班级，每班至少1个名额，则甲班恰好分到2个名额的概率为 。 【答案】 【解答】将8个三好生名额分配给甲、乙、丙、丁4个班级，每班至少1个名额的不同分配方案有种。（用隔板法：将8个名额排成一排，在它们形成的7个空挡中插入3块隔板，则每种插入隔板的方式对应一种名额分配方式，反之亦然。） 其中，甲班恰好分到2个名额的分配方案有种。（相当于将6个名额分配个3个班级，每班至少1个名额。） 所以，所求的概率为。 5．三棱锥中，是边长为的等边三角形，，且二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为 。 【答案】 【解答】如图，取中点，连，。 由是边长为的等边三角形，知， ，，。 ∴ 为二面角的平面角，，，。 作于，则。 ∴ ，，为的外心，三棱锥为正三棱锥。 设三棱锥外接球的球心为，半径为。 则在直线上，且。 ∴ ，，三棱锥的外接球的表面积为。 6．已知为双曲线：上一点，、为双曲线的左、右焦点，、分别为的重心、内心，若轴，则内切圆的半径为 。 【答案】 【解答】如图，不妨设点在第一象限，、、分别为与三边相切的切点。 则由切线长定理以及双曲线定义，得 ∴ ，。 设，由为重心，知，。 ∴ ， 。 设内切圆半径为，则 。 另一方面， 。 ∴ ，。 7．在中，内角、、所对的边分别是、、，且，，，则的面积为 。 【答案】 【解答】由，知。 ∴ ，。 ∴ ，。 ∴ ，即。 又，。 ∴ ，即，解得或。 ∴ ，或。 ∴ 的面积。 8．若关于的方程（，）在区间上有实根，则的最小值为 。 【答案】 【解答】由知，。 ∴ 。 ∵ ， ∴ ，当，，时，等号成立。 ∴ 的最小值为2。 9．函数的最大值为 。 【答案】 【解答】由柯西不等式知， 。 当且仅当，即，时等号成立。 ∴ 的最大值为11。 10.、、为圆上不同的三点，且，点在劣弧内（点与、不重合），若（，），则的取值范围为 。 【答案】 【解答】如图，连结交于点。 设，则由，得 。 ∵ 、、三点共线， ∴ ，。 不妨设圆的半径为1，作于，由，知。 ∵ ，且点在劣弧内（点与、不重合）， ∴ 。于是，。 ∴ 的取值范围为。 另解：如图，以为原点，线段的垂直平分线所在直线为轴建立直角坐标系。 不妨设圆半径为2，则由，知，。 设。 则由，得 。 ∴ 。 ∵ 点在劣弧内（点与、不重合）， ∴ 。 ∴ ，。 ∴ 的取值范围为。 二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程） 11．若数列中的相邻两项、是关于的方程（1，2，3，…）的两个实根，且。 （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的通项公式及的前项的和。 （必要时，可以利用：） 【解答】（1）依题意，由韦达定理，得，。 ∴ ，即。 ……………… 5分 ∴ ，，，…；和，，，…，都是公差为1的等差数列。 又，。 ∴ 对，，。 即。 ……………………… 10分 （2）由（1）知，。 ……………………………… 15分 ∴ 。 ……………………………… 20分 12．已知椭圆：（）过点，且离心率为。过点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于、两点（、与点不重合）。求证：直线过定点，并求该定点的坐标。 【解答】依题意，有，且。 解得，。 ∴ 椭圆的方程为。 …………………………… 5分 易知直线斜率存在，设方程为。 由，得 ……… ① 设，， 则，。 … ………………………… 10