线性代数课件第五章三节二次型和对称矩阵的有定性.pptVIP

* * 第三节 二次型和对称矩阵的有定性 一、正定二次型和正定矩阵 定义5.6 设n元二次型 ，其中A为n阶实 对称矩阵。如果对于任意的 ，有 则称该二次型为正定二次型，矩阵A称为正定矩阵。 例1 设二次型 则f 为正定二次型，因为对于任意的 都有 若二次型 ， 则g不是正定二次型。 实际上 对于 定理5.5 可逆线性变换不改变二次型的正定性。 定理5.6 二次型 为正定二次型的充分必要条件是 推论 n阶对角矩阵 为正定二次型的充分必要条件是 定理5.7 二次型 为正定二次型的充分 必要条件是它的正惯性指数等于n. 推论1 实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是A合同于 单位矩阵E.即存在可逆矩阵C，有 推论2 推论3 实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在可 逆矩阵C，使得 如果实对称矩阵A为正定矩阵，则A的行列式大于零。 定理5.8 实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是A的所有 特征值都是正数。 例2 如果实对称矩阵A为正定矩阵，则 也是正定矩阵。 证法1 由 ，有 即 也是对称矩阵。 又A为正定矩阵，所以存在可逆矩阵C，有 于是 记 则 所以 也是正定矩阵。 证法2 如果A为正定矩阵，其特征值为 ， 则 而矩阵 的特征值为 ，且 所以 也是正定矩阵。 例3 设A为 矩阵，且A的秩r (A)= n， 证明 为正定矩阵。 证 因为 故 是n阶对称矩阵。 又r(A)= n，可知齐次线性方程组AX= 0仅有零解。 所以，对于任意的 必有 于是 即二次型 为正定二次型，矩阵 为正定矩阵。 定义5.7 设n阶矩阵 A的子式 称为矩阵A的k阶顺序主子式。 定理5.9 实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是A的所有 顺序主子式都大于零。即 例4 判断二次型 是否为正定二次型。 解法1 用配方法将二次型化为标准形 由此得二次型的标准形 其正惯性指数为3。 故该二次型为正定二次型。 解法2 二次型f 的矩阵为 而A的特征多项式 得A的特征值 由于A的特征值全为正数，知A为正定矩阵。 对应的二次型为正定二次型。 解法3 只需判定二次型矩阵A 的顺序主子式是否全大于零。 因为二次型f 的矩阵 中各阶主子式 故A为正定矩阵，对应的二次型为正定二次型。 例5 设二次型 试问t为何值时，该二次型为正定二次型。 解 该二次型的矩阵为 当A的各顺序主子式都大于零时，A为正定矩阵， 对应的二次型为正定二次型。 解之得 即当 时，二次型 为正定二次型。 二、二次型的有定性 定义5.8 设二次型 (1) 若对于任意的 有 则称二次型f 为负定的，实对称矩阵称为负定矩阵。 (2) 若对于任意的 有 且存在 使得 则称二次型f 为半正定(半负定)的，实对称矩阵A 称为半正定(半负定)矩阵。 (3) 若二次型 既不是半正定的，也 不是半负定的，则称二次型f 是不定的，实对称矩阵也称 为不定矩阵。 定理5.10 设二次型 则下列各条件等价： (1) 为负定二次型； (3) 实对称矩阵A合同于-E； (4) 实对称矩阵A的特征值均小于零； (5) 实对称矩阵A的奇数阶矩阵顺序主子式小于零，偶数 阶顺序主子式大于零。 (2) 的负惯性指数为n； 定理5.11 设二次型 则下列各条件等价： (1) 为半正定二次型； (2) 的