线形代数课件2.6.Rn的标准正交基.pptVIP

第六节 Rn 的标准正交基 一、向量空间的基 我们知道，向量组的极大无关组与向量组等价.因此， 只要找到向量组的一个极大无关组，就等于掌握了这个向量组. 另一方面，如果已知一个向量组的秩为 r , 则其任意 r 个线性无关的向量都可以成为该向量组的极大无关组. 任意一个 n 维向量组中，线性无关的向量个数不会超过向量的维数 n . 1. 基的定义 定义 2.16 在 Rn 中，称任意 n 个线性无关的 向量 ?1 , ?2 , … , ?n 为 Rn 的一组基. 显然 Rn 中的向量组 ?1 = (1, 0, …, 0)T , ?2 = (1, 0, … , ?n = (1, 0, …, 0)T 为 Rn 的一组基，一般 称 ?1 , ?2 , … , ?n 为 Rn 的标准基或自然基. 类似地， ?1 = (1, 0, …, 0)T , ?2 = (1, 1, …, 0)T , … , ?n = (1, 1, …, 1)T 也是 Rn 的一组基. …, 0)T 2. 向量在基下的坐标 定义 2.17 设 ?1 , ?2 , … , ?n 为 Rn 的一组基， 则对于任意 ? ? Rn，? 可以表为 ?1 , ?2 , … , ?n 的线性组合， 且表示法唯一， 使 ? = a1?1 + a2?2 + … + an?n 即存在 a1 , a2 , … , an ? R , 则称组合系数 a1 , a2 , … , an 为 ? 在基?1 , ?2 , … , ?n下的坐标， 记作 ( a1 , a2 , … , an ) . 例 1 分别求 ? = (d1 , d2 , … , dn)T ? Rn 和基 ?1 = (1, 0, …, 0)T , ?2 = (1, 1, …, 0)T , … , ?n = (1, 1, …, 1)T 下 在标准基 ?1 , ?2 , … , ?n 的坐标. ? = (d1 , d2 , … , dn)T = d1?1 + d2?2 + … + dn?n , 即 ? 在标准基下的坐标为 (d1 , d2 , … , dn) ，恰为 ?的各个分量. 设 ? 在基 ?1 , ?2 , … , ?n 下的坐标为 (x1 , x2 , … , xn) 则有 x1?1 + x2?2 + … + xn?n = ? 此线性方程组的增广矩阵为 把它化为行最简形得 于是方程组的解为 x1 = d1 – d2 , x2 = d2 – d3 , …, xn – 1 = dn – 1 – dn , xn = dn. 故 ? 在基 ?1 , ?2 , … , ?n 下的坐标为 (d1 – d2 , d2 – d3 , dn – 1 – dn , dn) . 二、向量的内积 1. 内积的定义 定义 2.18 设 ? = (a1 , a2 , … , an)T , ? = (b1 , b2 … , bn)T 为 Rn 中的两个向量， 称为向量 ? 与 ? 的内积. 显然， ?T? ? R . 则 例如，设 ? = (1, 1, 1, 1)T , ? = (1, -2, 0, -1)T , ? = (3, 0, -1, -2)T , 则 2. 内积的性质 (1) ?T? = ?T? ; (2) (k? )T? = k?T? ; (3) (? + ? )T ? = ?T ? + ?T ? ; (4) ?T? ? 0 , 且　?T? = 0 ? ? = 0 . 其中? , ? , ? 为 Rn 中的任意向量，k ? R . 由性质 (1) , (2) , (3) 可推出： ( k1?1 + k2?2 )T? = k1?1T? + k2?2T? , ? T ( k1?1 + k2 ?2 ) = k1?T?1 + k2?T?2 . 三、向量的长度 1. 长度的定义 定义 2.19 设 ? = (a1 , a2 , … , an)T ? Rn ，称 为向量 ? 的长度(或模)， 即 如果 || ? || = 1，则称 ? 为单位向量. 例如， 均为 R2 中的单位向量. 记作 || ? || . 2. 长度的性质 (1) || ? || ? 0 , 且　 || ? || = 0 ? ? = 0 ; (2) || k? || = | k | · || ? || ; (3) |?T? | ? || ? || · || ? || , 且 |?T? | = || ? || · || ? ||　 ?　 ? , ? 线性相关. 设 ? , ? 为 Rn 中的向量， k ? R . 3. 非零向量的单位化 若 ? ? 0 ，则 为单