线性代数+课件与复习第2章.pptVIP

第2章 矩阵及其运算 2.1 矩阵的基本概念 2.2 矩阵的运算 2.3 逆矩阵 2.4 矩阵分块法 * 定义1 由 个数 排成的 行 列的数表, 称为 行 列的矩阵,简称 矩阵. 记作 2.1 矩阵的基本概念 2.1.1 矩阵的定义 2.1.2 几种特殊形式的矩阵 1.行矩阵与列矩阵 2.同型矩阵与矩阵的相等 两个矩阵行数相等、列数也相等时,称为同型矩阵. 如果矩阵 与矩阵 是同型矩阵,且它们的对应元素 相等,即 那么就称这两个矩阵相等.记作 3.零矩阵 元素都是零的矩阵称为零矩阵.记作 注意:不同型的零矩阵是不同的. 或 4.方阵 行数与列数都等于 的矩阵称为 阶矩阵或 阶方阵 阶方阵 的元素 称为主对角线元素 5.上(下)三角矩阵 6.对角矩阵 7.单位矩阵 2.2 矩阵的运算 2.2.1 矩阵的加法 1.定义2 2.运算规律 3.负矩阵 4.矩阵的减法 例 2.2.2 数与矩阵的乘法 1.定义3 数 与矩阵 的乘积记作 或 规定为 注： 与 为同型矩阵 2.运算规律 例 设 求 解 2.2.3 矩阵与矩阵的乘法 1.定义4 其中 注意: (1) (2)只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时, 两个矩阵才能相乘 的元素 就是第一个矩阵 与第二个矩阵 的第 列的对应元素的乘积和 的第 行 例 设 求 解 记 则 ,设 则 注： （1）矩阵的乘法一般不满足交换律,即一般来说, （2）进行矩阵乘法时,一定要注意乘的次序,不能随意改变 例 设 求 与 解 例 设 求 与 解 注意: 注：对于两个 阶矩阵 ,若 则称方阵 是可以交换的. 如 2.运算规律(假定运算都是可行的) ,(其中 为数) (左分配律) (右分配律) 3.矩阵的幂 为正整数 矩阵的幂满足下列运算规律 注: 一般来说 例 例 例 线性方程组 若设 则其矩阵形式为 2.2.4 矩阵的转置 1.定义6 设 称 为矩阵 的转置矩阵. 即把矩阵 的行换成同序号的列得到的一个新矩阵. 2.运算规律(假定运算都是可行的) 如 例 3.定义7 设矩阵 为 阶方阵,如果满足 即 那么 称为对称矩阵 如果满足 即 那么 称为反对称矩阵 注:(1)对称矩阵的特点是:它的元素以主对角线为对称轴对应相等 (2)反对称矩阵的特点是:它的元素以主对角线为轴对应互为相反数, 且主对角线元素全为零 阶方阵 2.2.5 方阵的行列式 1.定义8 由 (每个元素的位置不变),称为方阵 的行列式.记作 或 . 的元素所构成的行列式 2.方阵的行列式满足的运算规律 3.奇异矩阵与非奇异矩阵 当 时,称 为奇异矩阵; 时,称 当 为非奇异矩阵 2.2.6 方阵 的伴随矩阵 1.定义9 由 阶方阵 的行列式 的各个元素的代数余子式 所构成的 阶方阵 称为 的伴随矩阵,简称伴随阵. 例 例 2.方阵的伴随矩阵满足的性质 ( ,正整数); 若 ,则 ,正整数); 2.2.7 共轭矩阵 1.定义10 设 为复矩阵, 表示 的共轭复数,记 称为 的共轭矩阵 2.运算规律 *