线性代数+课件与复习第1章.pptVIP

第1章 行列式 1.1.1 二阶行列式 1.1.2 三阶行列式 1.2 逆序与对换 1.3 阶行列式的定义 1.4 行列式的性质 1.5 行列式按行（列）展开 1.6 克莱姆法则 例12 设行列式 为 求 的值. 解 为行列式 按第二行的展开式,因此 的值等于行列式 .而 * 对于二元一次方程组 定义二阶行列式 则当 时上述二元一次方程组有唯一解,并且通过带入消元法方程 组的解为 1.1 二阶与三阶行列式 即可用二阶行列式表示为 , 例1 解二元一次方程组 解 , 定义三阶行列式为 则三元一次方程组 当 时方程组的解可用三阶行列式表示为 例2 计算行列式 解 1.2.1 排列与逆序 自然数 组成的有序数组称为一个 元排列,记为 . 规定按从小到大的顺序排列的叫做标准排列（自然排列）. 为标准排列. 即排列 定义1 在一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反, 即前面的数大于后面的数,那么它们就称为一个逆序,一个排列 中逆序的总数就称为这个排列的逆序数.排列 的逆序数记为 计算排列逆序数的方法: 对于排列 ,其逆序数为每个元素的逆序数之和. 中元素 ，如果比 大且排在 前面的元素有 个，就说 的逆序数为 , 全体元素的逆序数之和为 即对于排列 即 例3 求排列 的逆序数. 解 在排列 中 定义2 逆序数为偶数的排列称为偶排列, 逆序数为奇数的 排列称为奇排列. 1.2.2 对换 定义3 把一个排列中某两个数的位置互换而其余的数不动 就得到另一个排列,这样一个变换称为一个对换.对换改变排列的 奇偶性. 将一个奇排列变成标准排列需要奇数次对换,将一个偶排列 变成标准排列需要偶数次对换. 定义4 由 个数组成数表 从中选取处在不同行不同列的 个元素相乘 ,其中 为 的一 个全排列,并冠以符号 ,则 为 阶行列式,记作 称和 或简记为 ,其中 表示处在第 行,第 列位置的元素. 例4 计算行列式 其中未写出部分全为零. 解 在行列式的展开式中共有 个乘积 ,显然如果 则 必为零, 从而这个项也必为零,因此只须考虑 的项.同理只须考虑 ,也即行列式的展开式 中只有 (其他的项乘积均为零),而 , 因而其符号为正.因此 定义5 对角线以上（下）的元素全为零的行列式称为 下（上）三角行列式. 由例4还可得出关于上、下三角行列式的如下结论: 例5 计算行列式 解 在行列式的展开式中共有 个乘积 , 显然如果 则 必为零,从而这个项也必为零,因此只须考虑 的项.同理只须考虑 ,也即行列式的展 开式中只有 (其他的项乘积均为零),而 因而其符号为 ，因此 由例5还可得出下三角行列式的如下结论： 以上各种形式是计算行列式的常用形式,应该对这几种形式 加以注意并加强对它们的理解和应用. 行列式的计算是一个重要的问题,也是一个很麻烦的问题.对于 阶行列式,当 很大时直接从行列式的定义进行行列式的计算 几乎是不可能的.为此有必要对行列式的性质进行研究,从而简 化行列式的计算. 记 称行列式 为行列式 的转置行列式. 性质1 行列式与其转置行列式相等,即 性质2 互换行列式的两行(列)元素,则行列式变号. 推论1 若行列式中某两行元素对应相等,则行列式的值为零. 性质3 行列式某行元素都乘以数 等于用 乘以行列式,即 推论2 由性质3知若行列式中某行(列)元素含有公因数 可以将数 提到行列式外. ,则 推论3 若行列式的某两行(列)元素对应成比例,则此行列式的 性质4 若行列式的某一行(列)是两组数之和,则这个行列式可 值为零. 以写成两个行列式的和,即 此性质可以推广到某一行元素为多组数之和的形式. 性质5 把行列式中某行(列)元素的 倍加到另外一行(列)的 对应元素上去,行列式的值不变.即 例6 计算行列式 的值,其中 解 例7 计算行列式 的值,其中 解法一 分别将行列式的第二行、第三行、第四行加到第 一行得 解法二 利用行列式的性质将行列式的第一行和第四行互换可得 例8 计算行列式 的值,其中 解 例9 计算行列式 的值,其中 解 把前一列乘以 加到后一列上去得 再将第三列乘以 加到第四列上去，第二列乘以 加到 第三列上去得 由于此时行列式的第三列和第四列相等，因此由行列式的 性质可得 1.5.1 余子式与代数余子式 定义6 在 阶行列式 中划去元素 所在的第 行和第 列的元素,剩下的 个元素按原来的排法构成一个 阶的行列式,称为元素 的余子式,记作 .对 冠以 符号 后称为元素 的代数余子式,记为