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* * -----利用向量解决平行与垂直问题 3.2立体几何中的向量方法(二) 用向量运算处理平行关系 用向量运算处理垂直问题 例1 如图,在正方形ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C、B1C1的中点,求证:MN∥平面A1BD 典型例题 D N M A B C D! B! C! A! 分析:证明线面问题,可利用三种方法:一是证明 与平面A1BD的法向量垂直;二是在平面A1BD内找一向量与 平行;三是证明 可以用平面A1BD中的两不共线向量线性表示. 例1 如图,在正方形ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C、B1C1的中点,求证:MN∥平面A1BD D N M A B C D! B! C! A! 法1:建立如图所示的空间直角坐标系. x z y 设正方体的棱长为1,则可求得M(0,1,1/2),N(1/2,1,1),D(0,0,0), A1(1,0,1),B(1,1,0).于是 设平面A1BD的法向量是 则 得 取x=1,得y=-1,z=-1, ∴ 例1 如图,在正方形ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C、B1C1的中点,求证:MN∥平面A1BD D N M A B C D! B! C! A! 法2: 法3: 即 可用 与 线性表示,故 与 是共面向量,∴MN∥平面A1BD 例2 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC与BD得交点,G为CC1的中点,求证A1O⊥平面GBD D G B C D! B! C! A! A O 证明:设 则 小结 1.用空间向量方法证明立体几何中的平行与垂直问题,主要运用了直线的方向向量和平面的法向量,同时也要借助空间中已有的一些关于平行、垂直的定理. 2.用向量方法证明平行垂直问题的步骤: (1)建立空间图形与空间向量的关系(建系或不建系都可),用空间向量表示问题中涉及的点、线、面; (2)通过向量运算处理平行、垂直问题; (3)根据运算结果解释相关问题. *