第8讲函数与方程基础诊断考点突破课堂总结.pptVIP

考试要求　1.函数的零点与方程根的联系，一元二次方程根的存在性及根的个数的判断，B级要求；2.二分法求相应方程的近似解，B级要求． 知 识 梳 理 1．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y＝f(x) (x∈D)，把使 的实数x叫做函数y＝f(x) (x∈D)的零点． (2)几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与 有交点?函数y＝f(x)有 ． (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数y＝f(x)在区间 内有零点，即存在c∈(a，b)，使得 ，这个 也就是方程f(x)＝0的根. 2.二次函数y＝ax2＋bx＋c (a0)的图象与零点的关系 3.二分法 (1)定义：对于在区间[a，b]上连续不断且 的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 ，使区间的两个端点逐步逼近 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． (2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下： ①确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε； ②求区间(a，b)的中点c； ③计算f(c)； (ⅰ)若f(c)＝0，则c就是函数的零点； (ⅱ)若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))； (ⅲ)若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))． ④判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复②③④. 诊 断 自 测 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( ) (2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.( ) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac＜0时没有零点．( ) (4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．( ) 3．(2014·湖北七市(州)联考)已知函数f(x)与g(x)的图象在R上连续不断，由下表知方程f(x)＝g(x)有实数解的区间是________. 4．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是________(填序号)． 答案　2 考点一　函数零点的判断与求解 【例1】 (1)(2014·苏、锡、常、镇模拟)设f(x)＝ex＋x－4，则函数f(x)在区间(1,2)内的零点有________个． (2)(2014·湖北卷改编)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x.则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为________． 规律方法　(1)确定函数的零点所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为确定区间两端点对应的函数值的符号是否相反．(2)根据函数的零点与相应方程根的关系可知，求函数的零点与求相应方程的根是等价的．对于求方程f(x)＝g(x)的根，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，函数F(x)的零点即方程f(x)＝g(x)的根． (2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异实根，即y＝g(x)与y＝f(x)的图象有两个不同的交点， 规律方法　函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用． 观察图象可知，若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数 根，则函数y＝f(x)的图象与直线y＝a有3个不同的交点，此时需满足0＜a＜1. 答案　(1)(0,3)　(2)(0,1) 规律方法　解决与二次函数有关的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组． 【训练3】 已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围． [思想方法] 1．判定函数零点的常用方法有： (1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f(x)＝0. 2．研究方程f(x)＝g(x)的解，实质就是研究G(x)＝f(x)－g(x)的零点． 3．转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题． [易错防范] 1．函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标． 2．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是