第十四讲思维及其数学思维-岭南师范学院.pptVIP

5.思维的批判性 思维的批判性是指主体对思维内容和思维过程进行反思和评价的程度,它是思维过程中主体自我意识作用的结果.主要表现在: 评价所选择的思路; 预测可能出现的结果并进行检验; 喜欢独立思考; 凡是要经过自己思考再作结论; 善于提出各种疑问,及时发现错误等. 思维是一个通过对感知记忆的信息进行加工改造而得出新信息的过程. 要使思维能进行,首先要有被加工的材料,即概念信息和表象信息,其次要有科学的加工方法,即思维方法. 思维方法分为一般思维方法和特殊思维方法. 前者有逻辑思维方法、形象思维方法等;后者是指各学科特有的思维方法,如观察、实验、模拟方法等. 数学思维方法是在数学活动中表现出来的思维方法.如数学逻辑思维方法、数学形象思维方法、化归方法、模型方法、公理化方法、无穷小方法等. 二、 数学形象思维方法的形式 数学形象思维方法是人脑对表象信息进行加工,并得出新数学表象的思维方法. 其形式有数学表象的形成、数学表象的分解与组合、联想、想象. 1. 数学表象的形成 面对具体的客观事物,在感知觉和经验的作用下,人们在脑中可形成单个的表象,在此基础上,从不同的单象中通过形式结构特征的概括而形成观念性的数学表象.这就是数学表象的形成. 如 茶杯口、轮胎、环、圆管的截面等在人脑中形成不同的单个表象,而由这些单象形概括形成“圆”的数学表象. 1. 数学表象的形成 通过画圆的学习,发现圆是平面上到定点距离等于定长的点的轨迹,便形成了“轨迹之圆”的数学表象;学习集合后,形成“集合之圆”的数学表象. 学习了 后,有些形成了与原式“全等”的图式表象,有些形成与原式“同构”的图式表象,即 2. 数学表象的分解与组合 数学表象的分解是指把复杂的表象分解为简单的表象.表象的组合是指把一些单象组合成复合象. ⑴ 在复杂的背景中识别出基本图形 ⑵ 把复杂的结构图式分解成一些简单的结构图式. ⑴ 在复杂的背景中识别出基本图形 2. 数学表象的分解与组合 例 指出下图中有多少个直角三角形?多少个正方形? ⑴ 在复杂的背景中识别出基本图形 2. 数学表象的分解与组合 例 指出下图中有多少条Menelaus线? 2. 数学表象的分解与组合 例 ⑵ 把复杂的结构图式分解成一些简单的结构图式. 联想是由一事物想到另一事物的心理过程. 即将头脑中相分离的表象联系在一起,由一种已有的表象唤起另一种表象. 有部分联想整体、类比联想、关系联想. 3. 联想 ⑴ 部分联想整体 ⑴ 部分联想整体 ⑵ 类比联想 类比联想指的是根据两个数学对象之间的类同、相似等关联引起和展开的联想. 如学习立体几何联想到平面几何; 学习多元函数的微积分联想到一元函数的微积分; 由分式的基本性质联想到分数的基本性质等等. 例已知acos?＋bsin ? =c, acos ? ＋bsin ? =c.其中 图式表象:Ax+By=C与A1x+B1y=C1重合 于是,就有下面的逻辑推演: 显然P(cos?,sin?),Q(cos?,sin ? )在ax＋by =c上. 所以,点P,Q均在直线 因此,两直线重合.于是 ⑶ 关系联想 关系联想是根据数学知识、图形的内在联系进行的联想. 如利用两个数学对象之间的从属关系、一般与特殊的关系、互逆关系、对称关系、因果关系，可以进行相应的联想. 例 解方程 3x+4x+5x=6x. 可联想到利用函数方法来解决.方程可变形为 观察、试算f(1)=1, f(2) 1, f(3)=0.所以x=3是方程的根. 是R上的递减函数 所以f(x)是R上的递减函数，故解只有一个。 想象就是人脑对已有的表象进行加工而产生新表象的思维方法. 数学中的想象是以丰富的数学表象为基础.数学中的想象为较高层次的形象思维形式. 数学表象系统和结构层次、丰富程度决定主体想象的水平. ４. 想象 想象分为再造想象和创造想象. 再造想象——根据对某一事物的数量关系与空间形式的语言、文字的描述或者图形的示意,在头脑中形成相应的新表象的思维方法. 创造想象——不依赖于某一事物已有的数量关系和空间形式的描述,而是根据一定的目的、任务与理论,独立地创造出新表象的思维方法. 、想象. 数学中有一种叫做模拟的想象. 模拟就是根据数学对象(原型)的本质和特征,在大脑中选择或构建一种与原型相似的表象模型,并在建立的表象模型上进行实验(表象运动),然后将所得结果类推回到原型,从而达到认识目的的思维方法. 其原理就是相似原理. 第十四讲 思维及其数学思维 张映