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多题一解 上海市桃李园实验学校 戚元彬 九年级数学课本第70页的例4： 如图1，在△ABC中，矩形DEFG的一边DE在BC上，点G、F分别在AB、AC上，AH是BC上的高，AH与GF相交于K.已知GF=18,BC=48,EF=10,求AK的长. 分析:这是一个“三角形内接四边形”的问题.通过GF∥BC，易证△AGF∽△ABC,利用 “相似三角形对应高的比等于相似比”可得,设AK=,然后代入得比例式方程,解方程求得AK=6.解决本题的关键是,利用比例式列方程. 这是一种非常重要的解题思路,下面的诸多问题都是利用这一思路解决的. 例1.如图2,在△ABC中,BC=16cm,高AD=8cm,矩形EFGH的边EF在BC上, G、H分别在AC、AB上,EF=6.求HE的长. 分析: 通过GH∥BC，易证△AGH∽△ABC,利用 “相似三角形对应高的比等于相似比”可得, 设HE=cm,然后代入得比例式方程,解方程求得HE=5cm. 例2.如图2,在△ABC中,BC=18cm,高AD=12cm,矩形EFGH的边EF在BC上,G、H分别在AC、AB上, EH:EF=1:3. 求矩形EFGH的周长. 分析: 通过GH∥BC，易证△AGH∽△ABC,利用“相似三角形对应高的比等于相似比”可得, 设EH=cm,则EF=3cm,然后代入得比例式方程,解方程求得EH=4,于是HG=EF=12cm,所以矩形EFGH的周长为32cm. 例3.如图2,在△ABC中,BC=a,高AD=h(a与h为正常数),矩形EFGH的边EF在BC上,G、H分别在AC、AB上,设HE=, EF=,求与之间的函数关系式. 分析: 通过HG∥BC，易证△AHG∽△ABC, 利用“相似三角形对应高的比等于相似比”可得,先证明HE=MD、GH=EF，然后将AM=h-,AD=h,GH=，BC=a代入比例式，得,整理得. 例4.如图3,有一块三角形余料ABC,它的边BC=120mm,高AD=80mm,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB、AC上,加工成的正方形零件的边长是多少? 分析: 通过PN∥BC，易证△APN∽△ABC,利用“相似三角形对应高的比等于相似比” 可得,设PQ=mm,先证明PQ=ED，然后将AE=80-,AD=80,PN=，BC=120代入比例式，得,解方程求得PQ=48mm. 例5.如图4,在△ABC中, ∠BAC=90°,AB=4cm, AC=3cm,EFGH为内接正方形,求正方形EFGH的边长. 分析: 过点A作AD⊥BC，垂足为D，交HG于点M.通过HG∥BC，易证△AGH∽△ABC,利用“相似三角形对应高的比等于相似比” 可得,设EH=cm,则MD=EH=cm, 然后代入得比例式方程,解方程求得EH=cm. 例6.如图1,在△ABC中，矩形DEFG的一边DE在BC上，点G、F分别在AB、AC上，AH是BC上的高，AH与GF交于K.已知GD=,BC=12,AH=10,矩形的周长为. (1)求关于的函数关系式； (2)当为何值时,矩形DEFG成为正方形? 分析:(1) 通过GF∥BC，易证△AGF∽△ABC,利用“相似三角形对应高的比等于相似比”可得,将AK=10-,AH=10,BC=12代入比例式,得到,解得GF=,于是 =2GF+2GD=. (2)当时,即时,矩形DEFG成为正方形. 例7.如图5,有一块三角形土地,它的底边BC=100米, 高AH=80米,某单位要沿着地边BC修一座底面是矩形DEFG 的大楼,当这座大楼的地基面积最大时,这个矩形的长和宽 各是多少?并求出这个最大面积. 分析:设DE的长为米,此时矩形DEFG的面积 为S平方米. 通过DG∥BC，易证△ADG∽△ABC, 利用“相似三角形对应高的比等于相似比”可得, 将AM=80-,AH=80,BC=100代入比例式得,求得DG=,于是S=,整理得S,配方得S=,所以当这座大楼的地基面积最大时,这个矩形的长和宽各是50米和40米,最大面积为2000平方米. 类似的问题还有很多,他们都是有关“三角形内接四边形”的问题，解决这类问题的关键是灵活运用“相似三角形对应高的比等于相似比”的性质列出比例式，再利用这一比例式解决有关的多个问题，这其实就是“多题一解”. 说明:本文发表于2006年12月18日的《上海中学生报》上 。 3 A B C D E F G H M 图2 B C G D E H K 图1 A F 图4 G D A B C E F H M 图3 C P D M N Q B E A A B C H E F G D M 图5