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《应用数学基础》 (谢政 著) 课后习题答案 国防工业出版社习题3解答
习题3 答案 1. 设 ||i|| 是 n×n 上的方阵自相容范数， D 是 n 阶可逆矩阵， ∀A ∈n×n ，定义 || A || || D −1AD || ，证明||i|| 是n×n 上的自相容范数． * * 证明 (1) 非负性 A D −1AD ≥0 ，并且 * A 0 =⇔ D −1AD 0 =⇔D −1AD 0 =⇔A 0 * (2) 齐次性 αA * D −1(αA)D αD −1AD α ⋅ D −1AD |α|=⋅ A * (3) 三角不等式 −1 −1 −1 A +B * D (A =+B )D D AD =+D BD ≤ D −1AD + D −1BD A =+ B * * (4) 与矩阵乘积的相容性 −1 −1 −1 −1 −1 AB * D (AB )D D A(DD )BD (D AD )(D BD ) ≤ D −1AD ⋅ D −1BD A =⋅ B * * 从而|| ⋅|| 为n×n 上自相容范数． * n×n −1 C n ≤ 2. 设|| || 是 上的方阵自相容范数，B 和 都是 阶可逆矩阵，且|| B || 1， i || −1 || 1 n×n || || || || || || n×n ≤ ∀ ∈ i C ． A ，定义 A * BAC ，证明 * 是 上的方阵自相容范数． 网 证明 (1) 非负性 A BAC ≥0 ，并且 * 案 A 0 =⇔ BAC 0 =⇔BAC 0 =⇔A 0 * 答 (2) 齐次性 αA * B (αA)C α(BAC ) α ⋅ BAC α =⋅ A * 后 (3) 三角不等式 课 A +A B (A =+A )C BAC =+BA C 1 2 * 1 2 1 2 ≤ BAC + BA C A =+ B
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