工程力学-梁的位移.docVIP

7 梁的位移 1、微小变形假设下，梁的挠曲线近似微分方程其积分 2、梁的刚度条件 利用上述条件可以对梁进行刚度校核、截面设计和确定容许荷载。 3、超静定梁的求解方法是: (1)解除多余约束，代之以多余未知力， (2)利用变形协调条件建立补充方程，用补充方程求出多余未知力， (3)解出其它反力和内力 7.1 使用积分法计算图 7.1所示梁的挠曲线方程,最大挠度和两端转角的表达式。 [解] 取坐标原点在固定端,梁的弯矩方程为 可得挠曲线近似微分方程为 积分一次得转角方程为 再积分一次得挠曲线方程为 在悬臂梁中，边界条件是固定端的挠度和转角都为零，即 由此边界条件即可确定两积分常数 显然最大转角和最大挠度都发生在x=L处 7.2 图 7.2悬壁梁受均布荷载作用，、为常数，求自由端的挠度与转角 [解] 对于图示的坐标系,弯矩方程为 则梁的挠曲线微分方程为 对上式进行一次积分得 再进行第二次积分得 边界条件 将上述两条件代入后，可解出积分常数为 转角方程 挠曲线方程 梁自由端的转角和挠度 转角为顺时针，挠度方向为向下。 7.3 图7.3所示为一简支梁，试求在满跨均布荷载下的挠曲线方程和转角方程。 [解] 支座反力 梁的弯矩方程 挠曲线微分方程 进行一次积分得 再进行第二次积分得 边界条件为 解出积分常数 将求出的积分常数代入后,分别得到梁的转角方程和挠曲线方程 7.4有一简支梁AB受荷载作用如图7.4（a）所示。试利用叠加原理求梁跨中C处挠度和支座处截面的转角。 [解] 此梁荷载可以分解为两项简单荷载如图7.4(b)、(c)所示。附录中已经分别列出这两种荷载各自单独作用时梁的位移解，可先从附录中查出相应的位移值，再用叠加原理求所位移,在图7.4(b)和图7.4(c)所示荷载作用下，跨中挠度分别为 ， 则在两种荷载共同作用下跨中挠度为 类似地，可以用叠加原理分别求得两端支座截面的转角为 7.1试用积分法求图7.5示各梁(EI已知)的(1)挠曲线方程,(2)A截面的挠度及B截面的转角；(3)最大挠度。 [解] (a) 取坐标原点在自由端,对于AB段,弯矩方程为 对于Ac段: 边界条件 连续性条件: 解得 : AB段的挠曲线方程 Ac段的挠曲线方程 A截面的挠度: 令 B的转角： 令 最大挠度在自由端, 处, [解]（b）支座反力 取坐标原点在B端，对于BA段,弯矩方程为 挠曲线方程 积分一次得 再积分一次得 对于AC段： 挠曲线方程 积分一次得 再积分一次得 边界条件 连续性条件: 解得积分常数 ，，代入上述方程可得挠曲线方程和转角方程。 7.2试用积分法求图7.6所示梁的挠曲线方程及中间截面的挠度，EI已知。 [解] 1、支座反力 取坐标原点在A端，弯矩方程为 挠曲线方程 积分得 边界条件 解得 所以 当时， 7.3 外伸梁承如图7.7所示，试按叠加原理求。 图7.7 [解] 将结构分解如下 将（b）进一步分解如下 利用附录2查得各端的转角和挠度 为、和的叠加 为和的叠加 为 为和的叠加 7.4图7.8所示的梁具有中间铰B和C, 为已知, 按叠加原理求P力作用处的挠度. 图7.8 [解] 将结构分解如下, 铰链处两段梁有互作用力, 利用附录2查得,各端的挠度 7.5变截面悬臂梁如图7.9所示，试用叠加法求自由端的挠度νc. 图7.9 [解] 将结构分解如下 自由端的挠度 由附录2查得 7.6悬臂梁如图7.10所示，已知，，若许可挠度，，，，试选定矩形截面的尺寸。 图7.10 [解] 因为 按刚度条件 所以 按强度条件 所以 最后选定矩形截面的尺寸为90,h=180mm. 7.7钢轴如图7.11所示，已知，左端轮上受力，若规定支座B处截面的许可转角，试选定此轴的直径。 图7.11 [解] 该梁相当于在左端受集中力的外伸梁,可求得 上式中的, 所以, ， 解得 。 7.8悬臂梁如图7.12所示，已知，，，单位跨度内的许可挠度，已知,试选定工字钢的型号。 图 7.12 [解]