线代第四章答案.docVIP

答案 一、温习巩固 （1），得特征值 解，得，为属于的所有的特征向量。 解，得，为属于的所有的特征向量。 （2），得特征值 解，得，为属于的所有的特征向量。 解，得，为属于的所有的特征向量。 （3），得特征值 解，得，为所有特征向量。 解，得为所有特征向量。 （4），得特征值 解，得，为所有特征向量。 解，得，、和不全为0. 2.填空题 （1）相似，-1，-1，2；（2），，；（3）；（4）0；（5） 3.判断题 6、7、9、13、14、15、17、19，20—28，30对，其余题错 二、练习提高 1、选择题 DBDDC 2、解：A为3阶方阵，有三个不同的特征值1，0和-1， 所以A可相似对角化，即存在可逆阵P，使得，可得 3、（1） 可相似对角化，对应特征向量分别为 相似变换矩阵， 可相似对角化，对应特征向量分别为 相似变换矩阵， 无两个线性无关的特征向量，不可相似对角化， (2) 解 (1) 有3个互异特征值 可对角化 对应于的特征向量依次为 , , 构造矩阵 , 则有 ． （3）求 的特征值与特征向量． 解 求的特征向量： , 求的特征向量： , 不可以对角化，只有两个线性无关的特征向量。 （4）求 的特征值与特征向量． 解 求的特征向量： , 求的特征向量： , , （不同时为0） 可以相似对角化。， 4、设的一个特征向量为, 求数及的 全体特征值与特征向量． 解 ： 由此可得：对应特征值只有1个线性无关的特征向量, 而特征 方程的基础解系为, 全体特征向量为 5、设实对称矩阵的特征值, 属于的 特征向量依次为, , 求． 解 设, 由 , 可得 该齐次方程组的一个非零解为 ． 令 , 则有 6. 设的一个特征向量为, 求的全体 特征值与特征向量． 解 ：, , 对应只有1个线性无关的特征向量 全体特征向量为 7、已知可对角化, 是的2重特征值, 求可逆矩阵, 使得． 解 可对角化对应有两个线性无关的特征向量 设, 则有 此时 , 求得 , , 令 , 则有． 8.证明：（1）设为的特征值，即. 则为的特征值，即. 又,则, . （2）由可得无关 假设是的特征值，即 整理得 由无关知 推出矛盾，假设不成立，所以不是的特征值. 同理不是的特征值。 ，所以无关. 9. 解： 所以两个矩阵不相似。 10. 证： （1）设矩阵的分别为相应矩阵的第行第列的元素。 则 （2）若与相似，可以设， 从而 三、思考与深化 1. 设, 求． 解 例4求得 , , 使得 ： 故 （） 2、去掉，此题目有问题。 3 4 5. 解：（1） （2） （3） 若，则。又由 （a） 得，即，所以 （b） 若由（a）式就得到，若由（b）式亦得到。 6 关于求最大特征值的计算方法． 求最大特征值及对应的特征向量； 设计算, 填到下面表里, 并观察； 求证：． 解：参考书174页选讲内容。矩阵的最大特征值为2，对应的特征向量为 对应用特征值1的特征向量为， 对本题因为 12