第一章排列与组合-精品课程.pptVIP

第一章 排列与组合 1.4 圆周排列 要点：从n个中取r个的项链排列的排列数为 P(n,r)/2r, 3≤r≤n 项链排列就是说排列的方法和项链一样,在圆排列的基础上，正面向上和反面向上两种方式放置各个数是同一个排列。 例 下面两种方式实际上表示的都是3个元素的同一种项链排列。 P(3,3)/(2×3)=1 123, 231, 312, 321, 213, 132 第一章 总结 例1-14 男生7名，女生3名，排成一列，头和尾为 男生，女生不相邻。有多少方案？ 解法1： 男生全排列（7！种）， 男·男·男·男·男·男·男 女生插入6个间隔，依次有6，5，4个选择 （相当于6个间隔取3个，排列） 解法2： 女生全排列，3！种， 7男生取4人插入4个位置，P(7,4)种。 男·女男·女男·女男· 4个·位置，可重取3个，C(4,3)种。 3个可重位置排序，3！种。 总计 例1-15 2000到5000间的偶数中，由不同数字组成 的4位数的数目。 解: 设该4位数为 取0,2,4,6,8 取2,3,4（为何分组） (1)当 取2,4, 有4种选择， 从其余8个数字取2个排列 (2)当 取3， 有5种选择， 从其余8个数字取2个排列。 例1-17 5个女生和7个男生选出5人，不允许男生甲 和女生乙同时选中。有多少方案？ 解法1： 12人取5人的组合 甲和乙同时参加的组合 合计：792－120＝672 解法2： 甲或乙之一参加的组合 甲和乙同时不参加的组合 合计：420＋252＝672 例1-18 英文Wellcome中， 3个母音e,o,e中e重复， 5个子音w,l,c,m中l重复。 8个字母全排列，3个母音不相邻， 多少排列？ 解: 5个子音排列，5!/2=60。 3个母音插入6个位置，6×5×4/2＝60。 例1-19 从[1,300]中取3个不同的数，使这3个数的和 能被3整除，有多少种方案？ 解: 将[1,300]分成3类： A={i|i≡1(mod 3)}={1,4,7,…,298}, B={i|i≡2(mod 3)}={2,5,8,…,299}, C={i|i≡3(mod 3)}={3,6,9,…,300}. 要满足条件，有四种解法： 1)3个数同属于A; 2)3个数同属于B 3)3个数同属于C; 4)A,B,C各取一数. 故共有 例1-21 用1×1, 1×2, 1×3的方块铺设1×7的模块, 有多少方案？ 解: 用7块1×1，1种 用5块1×1，1块1×2，6!/5!=6 种 用4块1×1，1块1×3，5!/4!=5 种 用3块1×1，2块2×2，5!/(3!2!)=10 种 用2块1×1，1块1×2，1块1×3，4!/2!=12 种 用1块1×1，3块1×2，4!/3!=4种 用1块1×1，2块1×3，3!/2!=3种 用2块1×2，1块1×3，3!/2!=3 种 合计：1＋6＋5＋10＋12＋4＋3＋3＝44种 例1-22 8人分4组，每组2人，有多少方案？ 解法1： 某人选同组7个选择， 余6人之一选同组5个选择， 余4人之一选同组3个选择， 合计： 解法2： 8人全排列，8！个选择，按排列分组 {1,2},{3,4},{5,6},{7,8}， 同组交换，重复度2×2×2×2， 4组排列，重复度4！， 合计： 例1-23 某车站有6个入口处，每个入口处每次只能 进一人，一组9个人进站的方案有多少？ 解: 一进站方案表示成：00011001010100 其中“0”表示人，“1”表示门框，其中“0”是 不同元，“1”是相同元。给n-1个“1”n个门只用n-1个门框。 任意进站方案可表示成上面14个元素的一个排列。 abc 1 1 de 1 f 1 g 1 hi [注意：门框确定门的排序，门框不必排序] [解法1] 标号可产生5!个14个元的全排列。 故若设x为所求方案，则 x·5!=14! ∴x=14!/5!=726485760 [解法2] 在14个元的排列中先确定“1”的位置，有C(14,5)种选择，再确定人的位置，有9！种选择。 　　故　C(14,5)·9!