高中数学论文集：对一道习题引发的思考.docVIP

对一道习题引发的思考 宁海县知恩中学 罗伟洲 关键词：策略 变式 延拓 一、初始问题的提出 过抛物线的焦点的一条直线和这条抛物线相交，两个交点的纵坐标为，，求证：（新教材第二册（上）P119第7题）． 二、解题策略的研究 “问题是数学的心脏”，学习数学的过程与数学解题紧密联系，而数学能力的提高在于解题的质量而不是解题的数量，所以要重在研究解题的方向和策略，要善于从题目的条件和求解（求证）的过程中提取有用的信息，作用于记忆系统中的数学认知结构，提取相关的知识，推动题目信息的延伸，归结到某个确定的数学关系，从而形成一个解题的行动序列，这就是解题方向，题目信息与不同数学知识的结合，可能会形成多个解题方向． 对于上述命题，通过师生共同探讨，我们可得到如下一些有用信息： （1）由“”，联想到韦达定理中的两根之积，从而形成解题方向一． （2）抛物线的焦点弦，常规解决方法是利用抛物线定义进行转化，形成解题方向二． （3）直线过焦点，事实上就是直线和抛物线的两个交点与焦点成三点共线，从三点共线的角度又可以形成四个解方向：①利用直线方程解决；②利用斜率公式解决；③利用共线向量解决；④利用定比分点公式解决． 具体证明如下： 证法1（利用违达定理） 当过焦点的直线斜率不存在时，直线方程为，代入得，故成立． 当直线斜率存在时，设其方程为：则，代入抛物线方程并整理得， 由韦达定理知：得证． 证法2（利用抛物线定义） 记过焦点F的直线交抛物线交于两点P1，P2，并设 过P1，P2分别作准线的垂线P1P1′，P2P2′，P1′、P2′为垂足． 由抛物线定义知 | P1P2 |=| P1F |+| FP2 |= | P1P1′| + | P2P2′| 即， 两边平方整理得，所以． 证法3（利用三点共线） （同证法二） 由两点式可得焦点弦P1P2所在的直线方程为，而焦点在直线上，则有． 整理得． 证法4（利用斜率公式）略 证法5（利用共线向量）略 证法6（利用定比分点） ……（同证法二）设F分的比为，则 由②得，代入①并整理得． 通过引导学生从各种途径，多角度地考虑问题，促使学生主动参与，积极探索、主动思考、主动创造，从而激发了学生的创造创新意识，培养了学生的创造能力． 三、问题的变式研究 对于原命题，在探求原题的多种证法后，不要为一时的收获而“沾沾自喜”使思维停止不前，教师可进一步引导学生去发现，去寻求更一般的规律，原题是否可能推广、引申呢？通过师生共同探讨，不难获得如下新的规律． 结论1 过抛物线焦点的一条直线与抛物线交于不同的两点，若两交点横坐标为，，则． 结论2 若一直线与抛物线的两交点坐标为（，）、（，），且（或），那么该直线必过抛物线的焦点． 结论3 若过点（t，0）的直线与抛物线的两交点坐标为P1（，），P2（，），那么，，．证明类似于原命题） 结论4 若一直线与抛物线的两交点坐标为（，）、（，），且（或），那么该直线必过点(t，0)． 通过对原命题的推广引申，不仅调动了学生的学习积极性，开拓了学生的学习思路，而且使学生得到了创造性思维的锻炼，从而在培养和发展学生的创新能力上收到了很好的效果． 四、问题延拓的研究 应用某些习题的结论和师生共同拓广所获得的新知识解决问题，不仅能使知识深化，而且也有可能使解题方法巧妙、简捷，从而使学生体会创造的美感，激发学生的创造热情，培养自觉、自主的创造品质． 应用1 过抛物线焦点F的一条直线与它交于P、Q两点，通过P和抛物线顶点O的直线交准线于点M． 求证：直线MQ平行于抛物线的对称轴（平几课本P102第13题）． 证明：设P、Q坐标于为，，则PO所在直线方程为，令得，又，即，所以，，从而MQ平行于x轴． 应用2 已知抛物线， 求证：在OX上存在一点M，使过M的弦P1P2总满足． 证明 设弦P1P2与OX轴的交点为（t，0），且P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由结论3知，x1x2=t2且，为了使，只需即. 应用3 已知是以原点O为直角顶角的抛物线的内接直角三角形，求面积最小值． 解 设A，B， 因为，由应用2知弦AB与抛物线对称轴交点为（0，2p）， 由结论3知， 又，于是 ， 所以，当， 即 时，的面积取得最小值． 研究问题的目的之一是掌握新知识，解决新问题，也是创新意识的表现，通过利用师生共同探讨获得新知识解决相关问题，可使学生深刻体会创造的喜悦，富有新意． 五、思考 在数学教学中，若教师有目的有意识地引导学生研究课本中的一些典型习题，揭示出其丰富的内涵，则不仅有利于学生掌握基础知识，而且对于培养应变能力，开拓思路，活跃思维都是有益的，同时对于目前高考命题的“源于课本而高于课本，考活题考能力”的原则也有一定的针对性，更重要的是与素质教育要求的“要重视知识的形成