上海大学2000年度研究生入学考试试题 数学分析.doc

每年的题目基本上都是15题，每题十分，总150分。 上海大学2000年度研究生入学考试试题 数学分析 设，若，证明：（1）当为有限数时，； （2）当时，. 2、设在上有二阶导数（端点分别指左、右导数），，且 证明： 证明：黎曼函数. 证明：其中在上连续. 设，讨论级数的收敛性. 设收敛且在上单调，证明：. 计算曲面包含在曲面内的那部分的面积. 将函数在上展成级数,并计算级数的值. 上海大学2001年度研究生入学考试试题 数学分析 计算下列极限、导数和积分: 计算极限 计算的导数,其中 已知,求积分. 计算的导数(只需写出的积分表达式). 设在上连续，在上可导，若且，试证明必存在使得. 令 (1)、证明: (2)、证明:对任意的,方程在中存在唯一的解. (3)、计算和. 4、一致连续和一致收敛性 (1)、函数在上是一致连续的,对,试确定,使得当,且时有. (2)、设证明: 在上是内闭一致收敛的, 但不是一致收敛的. 5、曲线积分、格林公式和原函数. (1)计算第二型曲线积分其中L是逐段光滑的简单闭曲线,原点属于L围成的内部区域,(L)的定向是逆时针方向. (2) 设,除原点外是连续的,且有连续的偏导数,若 a b其中(L)的参数方程 证明：存在连续可微函数，使得 . 上海大学2002年度研究生入学考试题 数学分析 求和使得当时，无穷小量等价于无穷小量. 求椭圆所围成的面积,其中均为常数. 试给出三角级数中系数的计算公式(不必求出具体值),使得该级数在上一致收敛到,并说明理论依据。 证明：函数在上一致连续 设在上有连续的导函数，，证明：. 证明:当时,有不等式 设在上连续,并且一对一,(即当且时有),证明: 在上严格单调. 上海大学2003年度研究生入学考试题 数学分析 证明与计算： （1）对于任意的，证明：存在，并求之. （2）设,证明: 存在并求之. 判断下列结论是否正确,正确的请证明,错误的请举出反例. （3）存在级数,使得当时, 不趋于0,但收敛. （4）是收敛的. (5) (此题只需指明理论依据) 计算 (6) 其中S为曲面: 的上侧. (7)将把在上展成级数,并由此计算. 证明: (8)设函数证明:它在上连续且有偏导数但是在不可微. (9)设函数在上黎曼可积,证明: 在上也是黎曼可积. (10)当时,证明: . (11)设在上连续,其中,证明: (12)设函数有连续的偏导数,证明:曲面上各点的切平面都交于一点,并求出交点坐标 (13)设闭曲线L: ,其中均为常数. 记和分别表示曲线的最高点和最低点,证明: . (14)如果函数列在上一致收敛,证明: 在上一致有界,即:存在使得对成立.(此题好象缺少条件) 进一步问,如果函数列在上点点收敛,结论是否成立,请证明你的结论. (15) 设函数在上连续, 绝对收敛,证明: 上海大学2004年度研究生入学考试题 数学分析 判断数列是否收敛,其中证明你的结论. 在区间上随机地选取无穷多个数构成一个数列,请运用区间套定理或有限覆盖定理证明该数列必有收敛子列. 设函数在上连续, ,证明方程在上一定有根. 证明:达布定理:设在上可微, ,如果则在之间存在一点,使得. 给出有界函数在闭区间上黎曼可积的定义,并举出一个有界但是不可积的函数的例子,并证明你给的函数不是黎曼可积的. 6、 闭区间上的连续函数,如果积分对于所有具有连续一 阶导数并且的函数都成立，证明：. 7、判别广义积分的收敛性和绝对收敛性，证明你的结论. 8、证明： 9、计算：. 10、试将函数在上展开成余弦级数，并由此计算: 11、函数列，在上连续，且对任意的，问是否也在上连续，证明你的结论. 12、设函数请在平面上每一点指出函数增加最快的方向，并计算出函数在该方向的方向导数. 13、求解问题，计算球体被柱面所截出的那部分体积. 14、曲线积分是否与路径无关，其中曲线不过原点，证明你的结论. 15、设函数可微，若，证明：. 上海大学2005年度研究生入学考试题 数学分析 设函数在内连续，求 设函数在有二阶导数，在上求证：. 若收敛，一定成立吗？举例并说明理由. 求证：. 证明：在上一致收敛，但上不一致收敛. 给出在I上一直连续的定义，并证明在上一致连续. 求的值. 把展成级数，并证明： 求外侧. 是椭圆方程，求证：椭圆的长半轴.其中是方程的最小根. 证明:存在，并求之. 问在什么范围内，在可导：在什么范围内在 连续. 求 已知，在上连续，不变号，求 在I上连续，求证：在I上一致连续. 上海大学2006年度研究生入学考试题 数学分析 计算 求极