高等数学 极限PPT.ppt

表明函数f (x)无限接近A. xX：表明是在 x?+∞ 的过程中实现的. 定义5 f (x) 当 x 大于某一正数时有定义, A 为常数. 恒有 |f (x) -A|ε 成立，则称 A 是函数f (x)在 时的极限. 对任意给定的正数 ε， 总存在正数 X，当 xX 时， 类比于数列极限的定义，推得当 时函数极限的 精确定义： 对定义5的简单叙述： 类比当 时函数的极限定义，当 时函数 f (x)的极限定义： 定义6 f (x) 当 x 大于某一正数时有定义, A 为常数. 恒有 |f (x) -A|ε 成立，则称 A 是函数f (x)在 时的极限. 对任意给定的正数 ε， 总存在正数 X，当 x-X 时， 简单叙述： 结合定义5和定义6，推得 定义7 f (x) 当 x 大于某一正数时有定义, A 为常数. 恒有 |f (x) -A|ε 成立，则称 A 是函数f (x)在 时的极限. 对任意给定的正数 ε， 总存在正数 X，当 |x|X 时， 简单叙述： 结论： 例6 证明 由于 由极限的定义知 几何解释： 称直线 y = A 为曲线 的水平渐近线 几何上，曲线y=f (x) 的图形位于 和 两直线之间. 引例 ① 函数 在 处的极限为 ②函数 在 处的极限为 ２ ２ y A x １ ２ ３ x→x0 时函数 f (x)的极限是否存在,与 f (x)在 x0处是否有定义无关. 2.自变量 x→x0 时, f(x) 的极限 结论： 设 f (x)在点 x0 的某一去心邻域内有定义， 记作： 上例中 定义7 定义8 简单表述： 设 f (x)在点 x0 的某一去心邻域内有定义， 存在正数d ,当 0| x -x0 |d , 成立，则称A为函数 f (x) 当 x→ x0 时的极限. 对于任意给定的正数e , | f (x) -A |e 恒有 几何解释： 极限存在 函数局部有界 结论: 例7 证明 由于 由极限的定义知 例8 函数在点 x=1处没有定义.但不影响考察该点极限的存在性 证明 一、数列的极限 二、数列极限的性质 三、函数的极限 四、无穷大与无穷小 一、数列的极限 例如, 1.定义1 形如 的一列数称为数列， 数列中的每一个数叫做数列的项， 第 n 项 an叫做数列的一般项或通项. 说明： (2)几何上，数列看做数轴上一个动点，依次取数轴上的点 (1) 数列是以自然数为定义域的函数 问题的提出——割圆术 我国古代数学家刘徽在《九章算术注》利用圆内接正多边形计算圆面积的方法——割圆术，就是极限思想在几何上的应用. 割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失. 2.数列极限的定义 正六边形的面积 正十二边形的面积 正 边形的面积 说明：当 n 的取值无限增大时，面积 An 无限接近一个确定的常数 S. ——数列的极限 … 用圆内接多边形的面积去逼近圆的面积: 圆的面积 再如数列 定义2 设{an}是一数列，a是一常数. 反之，如果数列{an}的极限不存在，则称数列{an}发散. 在上例中， 问题： 例如， 由于 当n越来越大时， 越来越小，从而an越来越接近于0. 例如，给定 只要 n100即可. 即从101项开始都能使 给定 只要 n10000即可. 即从10001项开始都能使 一般地，不论给定的正数 多么的小， 总存在一个正整 数N, 使得当n N时，不等式 都成立. 这就是数列 根据这一特点得到数列极限的精确定义. 定义3 总存在正整数N，使得当nN时，不等式 都成立, 那么称常数a是数列{an}的极限. 记作 说明： 具有任意性，确定性，N 存在性与 有关; (3)数列的极限与前面的有限项无关. (4)定义简写 几何解释： 从 N+1 项开始，有 例1 证明 由极限的定义知 例2 证明 由极限的定义知 例3 证明 由极限的定义知 说明： 因 从而 同理,因 故存在N1 , 使当n N1 时, 证明(反证法) 假设 故存在N2, 使当n N2 时,有 从而 定理1(极限的唯一性) 收敛的数列极限唯一. 二、数列极限的性质 矛盾, 因此收敛数列的极限必唯一. 则当nN 时, 同时满足的不等式 定理2(收敛数列一定有界) 证明 设 取 从而有 则 当 时, 有 收敛数列必有界. 取 则有 由此证明收敛数列必有界. 说明: 此性质反过来不一定成立. 例如 定理3(收敛数列的保号性) 证明 就 a 0 的情形, 由数列极限的定义， 推论: 若数列从某项起 (