由一个探究活动引出的思考.docVIP

精品论文 参考文献 由一个探究活动引出的思考 浙江绍兴县华甫中学 张敏丽 浙教版九年级（上）数学课本第51页，有这样一个探究活动：在本节的例5中，我们把一元二次方程xsup2;+x－1= 0 的解看做是抛物线y=xsup2;+x-1与x轴交点的横坐标，利用图象求出了方程的近似解。如果把方程xsup2;+x-1 = 0变形成 xsup2; = -x+1，那么方程的解也可以看成怎样的两个函数的交点的横坐标？用不同图象解法试一试，结果相同吗？在不使用计算机画图象的情况下，你认为哪一种方法较为方便？ 此题利用函数图象来求一元二次方程的解，虽说是一个探究活动，但这个知识比较重要，在考试中经常考到。它引自课文49页例5，但又高于课本例题，举一反三，用不同的方法来求解。这里就用到了我们数学中一种很主要的数学思想方法：数形结合。 数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。 所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题，实现数形结合。这个题目可以很好的诠释数形结合思想在数学题目中的应用。 通过前面的例题我们知道，一元二次方程xsup2;+x－1= 0 的解，可以看做是抛物线y=xsup2;+x-1与x轴交点的横坐标。利用函数图象(形)，我们求出了方程的解（数），很好的体现了数形结合的思想。 如果把方程xsup2;+x-1 = 0变形成 xsup2; = -x+1，我们也容易想到：方程的解也可以看成函数y=xsup2;和y=- x+1图象交点的横坐标。结果应该相同，而且这种方法对于画图来说更方便一些。因为画一次函数肯定比画二次函数简单，虽然也需要画二次函数图象，但是画顶点是原点的函数图象相对比较简便。 马上就有同学联想到还有三种方法：1、我们也可以把方程xsup2;+x-1 = 0变形成xsup2; -1 = -x ，方程的解可以看成函数y=xsup2;-1和y=- x图象交点的横坐标。2、把方程变形成xsup2; +x =1，方程的解可以看成函数y=xsup2;+x和y=1图象交点的横坐标。3、甚至有同学想到我们不一定要利用二次函数的图象，我们可以两边同除以x(x不等于0)，得：x+1-1/x=0,移项得：x+1=1/x,因此方程的解也可以看做函数y=x+1和y=1/x图象交点的横坐标。当然，能想到最后一种的，学生中应该是佼佼者了。所以这个题目利用函数图象，我们一共有以上5种方法求解。 我们马上来应用一下：已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c+2=0的根的情况是（　　） A.无实数根 B.有两个相等实数根 C.有两个异号实数根 D.有两个同号不等实数根 这个题目对于学生来讲比较困难，学生不知从哪里入手。我们可以从探究活动中得到启发，把方程ax2+bx+c+2=0，变形成ax2+bx+c=-2，因此它的解可以看成函数y=ax2+bx+c与y=-2图象交点的横坐标。直线y=-2是一条经过（0，-2）且平行于x轴的直线，在原图中画上直线y=-2的图象，可以发现与抛物线有两个交点，且都位于第四象限，因此原方程有两个同号，而且是同正不等实数根，答案应选（D）。 变式1：已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方ax2+bx+c+3=0的根的情况是（ ） 解：对于方程ax2+bx+c+3=0，变形成ax2+bx+c=-3，因此它的解可以看??函数y=ax2+bx+c与y=-3图象交点的横坐标。我们可以发现只有唯一一个交点，也就是原方程有两个相等的实数根，答案选（B）。 变式2：已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方ax2+bx+c+4=0的根的情况是（ ） 解：对于方程ax2+bx+c+4=0，变形成ax2+bx+c=-4，因此它的解可以看成函数y=ax2+bx+c与y=-4图象交点的横坐标。我们可以发现抛物线与经过（0，-4），且平行于x轴的直线y=-4无交点，也就是原方程无实数根，答案选（A）。 我国著名数学家华罗庚曾经说过这样一句话：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”。 数形结合的思想，其实质是将抽象