专题3—含参变量的函数.docVIP

1.3 含参变量的函数 【高考试题鉴赏 2012浙江文】 已知a∈R,函数 (1)求f(x)的单调区间 (2)证明:当0≤x≤1时, f(x)0. 【解析】(1)由题意得, 当时,恒成立,此时的单调递增区间为. 当时,,此时函数的单调递增区间为. (2)由于,当时,. 当时,. 设,则. 0 1 - 0 + 1 减 极小值 增 1 则有 所以. 当时,. 故. 热点一：通过参变量研究函数的性质 例1：（2013北京东城区联考）已知：函数，其中． （Ⅰ）若是的极值点，求的值； （Ⅱ）求的单调区间； （Ⅲ）若在上的最大值是，求的取值范围． 【解】（Ⅰ）解：． 依题意，令，解得 ． 经检验，时，符合题意． （Ⅱ）解：① 当时，． 故的单调增区间是；单调减区间是．② 当时，令，得，或． 当时，与的情况如下： ↘ ↗ ↘ 所以，的单调增区间是；单调减区间是和． 当时，的单调减区间是． 当时，，与的情况如下： ↘ ↗ ↘ 所以，的单调增区间是；单调减区间是和． ③ 当时，的单调增区间是；单调减区间是． 综上，当时，的增区间是，减区间是； 当时，的增区间是，减区间是和； 当时，的减区间是； 当时，的增区间是；减区间是和． （Ⅲ）由（Ⅱ）知 时，在上单调递增，由，知不合题意．当时，在的最大值是，由，不合题意． 当时，在单调递减，在上的最大值是，符合 所以，在上的最大值是时，的取值范围是． 热点二：利用参变量研究函数零点 例2：已知函数. （1）求的极值；（2）若函数的图象与函数的图象在区间上有公共点，求实数a的取值范围. 【解】（1）的定义域为,， 令得， 当时，是增函数； 当时，是减函数， ∴在处取得极大值，， 无极小值. （2）①当时，即时， 由（1）知在上是增函数，在上是减函数， , 又当时，， 当时，；当时，； 与图象的图象在上有公共点， ，解得，又，所以. ②当时，即时，在上是增函数， ∴在上的最大值为， 所以原问题等价于，解得. 又,∴无解. 综上，实数a的取值范围是. 热点三：恒成立问题和存在问题中参变量的取值范围 例3：(2013山东师大附中月考) 已知函数 （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）如果当且时，恒成立，求实数的范围. 【解】（1）定义域为 设 ① 当时，对称轴，，所以在上是增函数 ② 当时，，所以在上是增函数 ③ 当时，令得 令解得；令解得 所以的单调递增区间和；的单调递减区间 （2）可化为（※） 设，由（1）知：① 当时，在上是增函数 若时，；所以 若时，。所以 所以，当时，※式成立 ② 当时，在是减函数，所以※式不成立 综上，实数的取值范围是． 【变式】 已知函数f（x）=ax-（2a+1）x+2lnx(a∈Ｒ). （）求f（x）的单调区间； （）设g（x）=x-2x，若对任意x∈（0，2]，均存在x∈（0，2]，使得f（x）g（x），求a的取值范围。 【解】f′(x)= ∵x0 ∴令f′(x)0得ax-(2a+1)x+20 (Ⅰ) a=0时，得x2 ∴f(x)在（0，2）在（2，+） a0时，f′(x)0得(x-2)(ax-1)0 (Ⅱ） a0时，f′(x)0得(x-2)(x-)0 ∴f(x)在(0,2)在（2，+） a0时f′(x)0得(x-2)(x-)0 ①=2 即a=时，f(x)在（0，+） ②2 即0a时，f(x)在（，+）在（0，2）在（2，） ③2 即a时，f(x)在（0，）在（2, +）在（，2）（）由题意知 f（x）g(x) x∈(0,2] ∵g(x)=g(2)=0 ∴f(x)0, x∈(0,2] 由（2）知①a≤时 f(x)在(0,2] ∴f(x)=f(2)=2a-2(2a+1)+2ln2=-2a-2+2ln20 ∴aln2-1 ∴ln2-1a≤ ②a时，f(x)在（0，）在（，2） ∴f(x)=f()=·-(2a+1)·+2ln=-2--2lna=2-2lna-=-2(1+lna)- ∵a ∴lnalnln=-1 ∴f()0 ∴