复合函数(知识点总结、例题分类讲解)精选.pdfVIP

Go the distance 复合函数的定义域和解析式以及单调性 【复合函数相关知识】 1、复合函数的定义 y u u x y  f (u) u  g(x) y x y  f (g(x)) 如果 是 的函数， 又是 的函数，即 ， ，那么 关于 的 函数 叫 y  f (u) u  g(x) u x 做函数 （外函数）和 （内函数）的复合函数，其中是中间变量，自变量为 函 2 y x 1 y  2u 2 数值为 。 例如：函数y  2 是由 和u  x 1 复合而成立。 y  f (g(x)) x 说明：⑴复合函数的定义域，就是复合函数 中 的取值范围。 x u u g(x) ⑵ 称为直接变量， 称为中间变量， 的取值范围即为 的值域。 ⑶f (g(x)) 与g( f (x)) 表示不同的复合函数。 2．求有关复合函数的定义域 ① 已知f (x) 的定义域为(a,b) ，求f (g(x)) 的定义域的方法： u 已知f (x) 的定义域为(a,b) ，求f (g(x)) 的定义域。实际上是已知中间变量的 的取值范围，即 x u (a, b) ，g(x) (a, b) 。通过解不等式a  g(x) b 求得 的范围，即为f (g(x)) 的定义域。 ② 已知f (g(x)) 的定义域为(a，b) ，求f (x) 的定义域的方法： f (g(x)) (a，b) f (x) x 若已知 的定义域为 ，求 的定义域。实际上是已知直接变量 的取值范围， 即x (a，b) 。先利用a  x b 求得g(x) 的范围，则g(x) 的范围即是f (x) 的定义域。 3．求有关复合函数的解析式 f (x) f [g(x)] f (x) x g(x) ①已知 求复合函数 的解析式，直接把 中的 换成 即可。 ②已知f [g(x)]求 f (x) 的常用方法有：配凑法和换元法。 f [g(x)] x g (x) g (x) 配凑法：就是在 中把关于变量 的表达式先凑成 整体的表达式，再直接把 换 x f (x) 成 而得 。 g (x) t x t x x t f [g (x)] 换元法：就是先设 ，从中解出 （即用表示 ），再把 （关于的式子）直接代入