基于群论的对称性与守恒律的新表述精选.pdfVIP

维普资讯 成 都航 空职业技 术 学 院学报 2003年3月第 1期 (总第54期) J~m*lof0mgduAeronautic Vocational＆ T hrIicaIc0Uege Vol1．19No．1(Sen~lNo．54)2003 · 教学研究 · 基于群论的对称性与守恒律 的新表述 成都航空职业技术学院 张 强 摘 要 ：本文从 内积的定义出发 ，讨论对称性与守恒律的联 系，并就其应用与传统方法作 了比 较。最后，说 明了本文中基于群论的定义 内积的方式与所讨论的体系的关系。 关键词：对称性 守恒律 群论 守恒算符 守恒变换 一 、 引言 对称性。 1 对称性与守恒律 而在量子力学中，除空间几何交换对称性仍可 物理学的两个基本 问题是关于 “原子”和 “原 在经典理论中找到其对应守恒力学量外，分离的空 理”，即自然界的基本构成和根本规律 的问题。事物 间变换对称性和全同粒子置换对称性、相位对称性 的多样性中蕴涵着统一性，而且这些统一的规律也 等都无经典对应。例如对称性 (即常见的左右对称 具有某些不变性。物理学将运动规律的不变性称为 或空间反演)和全同粒子置换对称性(如电子对问的 “对称性”。物理学中的对称性比某些几何图形所表 置换)即为此类。这与经典物理和量子物理对体系 现出来的直观的几何对称性要深刻得多，可以说，它 状态的描述方式的不同密切相关。 是规律所遵循 的规律。例如，如果没有运动规律的 2 群论与对称性 时间平移不变性，关于 同样对象在相 同条件下 的今 群论是研究系统对称性质 的数学工具。19世 天的物理学就与昨 日的不同，因而物理学本身也就 纪初，Galois为研 究高次代数方程是否能用根式求 失去 了意义。 解而首先引入 了方程 的Galois群 ；1890年费德罗夫 在经典物理学中，主要涉及 的是与时间和空间 用群论解决了固体理论 的基本问题之一，即规则 的 变换相关的对称性。jacobi(1)等首先注意到经典力 空间点系分类问题；此后，群论被用于微分方程 的研 学中体 系的守恒量与对称性 的联 系。Nother于 究，进而把群的概念从优先群扩充到无限群 ，建立了 1918年将变分原理应用到物理学 中，证明了Nother 连续群的理论；后来，群论又与拓扑学结合起来，形 定理 ：对于 自然界中每一种对称性，必存在一个相应 成了拓扑理论，成为近代代数的重要分支之一。 的守恒定律；反之，对于每一个守恒定律，必对应有 量子理论建立后，Wigner和Weyl等运用群论 一 种对称性。 方法研究量子系统的对称性质，可 以不通过求解运 严格言之，此定理只对连续变换对称性才成立。 动方程得到系统许多普遍 的精确的性质。群论方法 例如，物理过程满足能量守恒是有关物理规律具有 的特点在于，只要所依据的对象的对称性质是严格 时间平移对称性的 自然结果；类似地，空间平移对称 的，则由它得出的结论必定是精确的、可靠的；对称 性将得到系统的动量守恒，空间旋转对称性则对应 性质与系统的具体细节无关，特别是 当研究者对研 于系统的角动量守恒。上述对称性均属于连续变换 究对象还知之甚少 时，通过对其对称性质的分析，就 · 1