求证a的立方减a为6的倍数.docVIP

在北师五上13页练习一的第六题，在教师用书中，提示：引导学生探索、研究“三个连续自然数组成的数一定是3的倍数”这里给如何与学生解释呢？（问题提供：辽宁-萍水相逢 ） 三个连续自然数组成的三位数，如：123、234、345、456、567、678、789，这样的数很好解释： 因为三个连续自然数的和除以3就是中间数，也就是说各位上数字的和是3的倍数，那么三个连续自然数组成的三位数就一定是3的倍数。 是否可以这样想：三个连续的数中设中间数为a,则为：a-1+a+a+1=3a，那么这里的a既可以是一位数，也可以是两位数了。 不知道你能不能看懂，其实就是把原式化简得到三个连续自然数，再通过性质完成的。 求证a的立方减a为6的倍数 可分解为a(a+1)(a-1) 这三个连续的整数里, 必有一个为偶数(能被2整除), 能被三整除数的每三个一循环, 所以里面必有一个能被三整除的数, 2x3=6,所以a的立方减a为6的倍数 三个连续的自然数中，至少有一个偶数，有且仅有一个数是3的倍数，所以三个连续的自然数相乘可以同时被2和3整除，即能被6整除。 初二数学 若a为整数，证明a的立方－a能被6整除 若a为整数，证明a的立方－a能被6整除 证明： a^3-a =a(a^2-1) =a(a+1)(a-1) a为整数， 所以，a(a+1)(a-1)为三个连续整数的积， 三个连续整数，其中必有一个是2的倍数，也必有一个是3的倍数。 所以，a(a+1)(a-1)必是6的倍数。 所以，a的立方－a能被6整除 a^3-a=a(a-1)(a+1) 当a=1时，a^3-a=a(a-1)(a+1)＝1*0*2=0,能被6整除。 设a=n时命题成立，即a^3-a=a(a-1)(a+1)＝n(n-1)（n+1)能被6整除。 则a=n+1时，a^3-a=a(a-1)(a+1)＝(n+1)(n)(n+2)=(n+1)(n)(n+2-3+3)=(n)(n-1)（n＋1）+3(n+1)(n) 在(n)(n-1)（n＋1）+3(n+1)(n)中，(n)(n-1)（n＋1）已被证明能被6整除，而3(n+1)(n)能被3整除，又(n+1)与(n)中必有一个能被2整除，因此3(n+1)(n)能被6整除，从而(n)(n-1)（n＋1）+3(n+1)(n)能被6整除。因此当a=n+1时命题成立。得证。 a为任意整数，证明：a(a+1)(2a+1)一定是6的倍数 a和a+1中肯定有一个偶数，所有一定是2的倍数。 如果a是3的倍数，那么正好是6的倍数。 如果a除3余1，那么2a除3余2，所以2a+1除3余0，正好是6的倍数。 如果a除3余2，那么a+1就是3的倍数，所以还是6的倍数 追问 可以用乘法公式吗？ 什么乘法公式？ 就是因式分解的 例如：因式分解公式a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2-ab) a(a+1)(2a+1)已经分好了啊 倒是可以拆开 (a*a+a)(2a+1) =2a*a*a+3*a*a+a 但是看不出来，这种题一定要把6分解