西大《常微分方程》第四章 4.2 常系数线性微分方程的解法4.2.4 Laplace(22P).pptVIP

* 若 （二 ） 拉普拉斯变换法 /Laplace Transform / 附录1 拉普拉斯变换 §1拉普拉斯变换定义/Definition of Laplace Transform/ 对于在 上有定义的函数 对于已给的一些 （一般为复数）存在，则称 为函数 的拉普拉斯变换，记为 f (t)称为Laplace Transform 的原函数，F(s)称为f (t)的象函数. 拉普拉斯变换法存在性/Existence of Laplace Transform/ 是分段连续的, 并且 常数 假若函数 在 的每一个有限区间上 使对于所有的 都有 成立 则当 时, 的Laplace Transform 是存在的。 §1 Definition of Laplace Transform 例1 当 即 §1 Definition of Laplace Transform 例2 ( 是给定的实数或复数 ) §1 Definition of Laplace Transform §2 拉普拉斯变换的基本性质/ Properties of Laplace Transform/ 1 线性性质 如果 是原函数, 和 是任意两个常数(可以是复数)，则有 左= 右 §2 Properties of Laplace Transform 显然，若 为实函数， 例1 如果原函数为 为实函数，则 则 §2 Properties of Laplace Transform §2 Properties of Laplace Transform 2 原函数的微分性质 如果 都是原函数，则有 或 如果 在 处不连续，则 理解为 §2 Properties of Laplace Transform 证 假定 成立 §2 Properties of Laplace Transform 证毕 3 象函数的微分性质 §2 Properties of Laplace Transform 另外，令 §3 拉普拉斯逆变换 /Inverse of Laplace Transform / 已知象函数，求原函数 也具有线性性质 §3 Inverse of Laplace Transform 由线性性质可得 如果 的拉普拉斯变换 可分解为 并假定 的拉普拉斯变换容易求得，即 则 §3 Inverse of Laplace Transform 例1 求 的Laplace 反变换 解 §3 Inverse of Laplace Transform 例2 求 的Laplace 反变换 解 §3 Inverse of Laplace Transform (二)拉普拉斯变换法(求非齐次线性方程的特解 ) 为常数 令 §3 Inverse of Laplace Transform