现代控制理论第4章 李亚普诺夫稳定性分析（2版）.ppt

第4章 李亚普诺夫稳定性分析 4.1 引言 4.2 外部稳定性和内部稳定性 4.3 李亚普诺夫稳定性的基本概念 4.4 李亚普诺夫稳定性定理 4.5 线性定常系统李亚普诺夫稳定性分析 4.6 线性时变系统李亚普诺夫函数的求法 4.7 非线性系统李亚普诺夫稳定性分析 4.8 李亚普诺夫直接法应用举例 4.9 MATLAB在系统稳定性分析中的应用 4.2 外部稳定性和内部稳定性 4.2.2 内部稳定性 4.2.3 外部稳定性与内部稳定性的关系 若系统内部稳定，则系统必为BIBO稳定 若系统为BIBO稳定，并不能保证系统必为内部稳定 若系统能控且能观测，则BIBO稳定性与内部稳定性是等价的 ■系统为BIBO稳定，并不能保证系统必为内部稳定 任选一个正定实对称矩阵Q,构造时变对称矩阵 (4-34) 其满足 和 而且 是矩阵微分方程 (4-35) 的唯一解。对式(4-35)中的第一式两端从t=0到 积分，得 将 和 代入上式,得 (4-36) 取 （4-37） 即可满足 且 表明按式(4-37)选取的P为实对称矩阵。为考察P的正定性, 取任意n维非零常数向量 ,考察由P构成的二次型函数 (4-38) 式中， 为式(4-31)的非零解向量。又Q为正定实对称矩阵，故式(4-38)中的被积函数为正定二次型函数，所以式（4-38）的积分大于零，由此可知实对称矩阵P正定。 综上所述, 若系统式(4-31)在 渐近稳定,则任取一个正定实对称矩阵Q,必存在另一个正定实对称矩阵P，满足李亚普诺夫方程式(4-32)。必要性得证。 应用定理4-6分析线性定常连续系统的稳定性时应注意如下几点： (1)定理4-6所阐述的条件与系统矩阵A的所有特征值均具有负实部的条件等价,因此, 定理4-6给出的条件是充分必要条件。实际应用时,常先选取一个正定的实对称矩阵Q,从李亚普诺夫方程式(4-32)求解出对应的实对称矩阵P,然后利用Sylvester准则确定矩阵P的定号性,进而判断系统的渐近稳定性。 (2)尽管正定实对称矩阵Q的形式可任意选取,最终的判断结果不因所选择的正定实对称矩阵Q形式不同而不同,但为了方便求解李亚普诺夫方程,通常选取正定实对称矩阵Q为单位矩阵I,这时实对称矩阵P应按式(4-39)求解,即 (4-39) 式中, I为n阶单位矩阵。 (3)有时为了简化求解实对称矩阵P的运算, 矩阵Q也可取为半正定的。这时若由李亚普诺夫方程式(4-32)求解出的实对称矩阵P是正定的,则李亚普诺夫函数 是正定的, 而V(x)沿任意状态轨迹对时间的 导数 半负定,根据定理4-3可判断系统在李亚普诺夫意义下是稳定的。进一步, 只要 在系统非零解运动轨线上不恒为零, 根据定理4-2,可判断系统是渐近稳定的。 【例4-8】设系统的状态方程为 其平衡状态为坐标原点，试判断这一状态的稳定性。 解 设可能的李亚普诺夫函数为 其中, P为实对称矩阵,即 ,且有 又P满足李亚普诺夫方程式(4-32) , 选取正定实对称矩阵Q为单位矩阵I,代入上式,得 考虑到 ,则以上矩阵方程可展成如下联立方程组 解出 则矩阵P的各阶主子式为 由Sylvester准则，可确定矩阵P是正定的。因此，系统在原点处的平衡状态是大范围内渐近稳定的。且系统的李亚普诺夫函数及其导数分别为 2. 线性定常离散系统 定理4-7 设线性定常离散系统自由运动的状态方程为 (4-40) 则系统在平衡状态 处渐近稳定的充要条件为:对任意给定的正定实对称矩阵Q，存在另外一个正定的实对称矩阵P，满足式(4-41)所示离散的李亚普诺夫方程 (4-41) 且 （4-42） 是系统的一个李亚普诺夫函数。 【例4-10】设线性定常离散系统的状态方程为 试确定系统在平衡状态渐近稳定的条件。 解 方法一(应用特征值判据) 应用定理4-5,系统渐近稳定的充要条件是系统矩阵G的所有特征值的模都小于1,即应满足 和 即只有当系统的所有极点都位于复数平面的单位圆以内时，系统在平衡点处才是大