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教材研究与课堂设计 高淳县第一中学 孔祥明 前言：教学质量关键在平时 ? 课堂——教学质量的主阵地 ? 评价——教学质量的显示 ? 兴趣——教学质量的重要保证 教材研究： A：数与代数 § 数与式（运算、符号感） § 方程、不等式、函数模型(数学化) B：图形与几何 § 识图（性质、判定） § 推理 § 操作与解释 C：统计与概率 D：综合与实践 数学思想、方法； 化归、方程、分类 一、剖析教材 八（上）几何 二、反思教材 这里有点“乱” 北师大版初中数学教材在原先教材的基础上进行了大刀阔斧般的“手术”，出现一点问题也在所难免，但教材中出现明显的逻辑错误却有点说不过去，在九（下）第三章第五节“直线与圆的位置关系”这一节中，教材的处理有点“乱”。 教材先通过太阳与地平线的位置关系让学生感受到直线与圆的位置关系，然后得到三种位置关系相交、相切、相离时d与r的关系，北师大教材倡导合情推理，所以通过观察，让学生接受例如d=r时，直线与圆相切本也无可厚非，但接下去教材让学生利用这一结果进行严密的证明，本人以为不妥。 教材在得出切线的性质：圆的切线垂直于过切点的直径这一定理前给出一个“议一议”。如下： 议一议 （1）你能举出生活中直线与圆相交、相切、相离的实例吗？ （2）图3—24中的三个图形是轴对称图形吗？如果是，你能画出它们的对称轴吗？ （3）如图3—25，直线CD与⊙O相切于点A，直径AB与直线CD有怎样的位置关系？说一说你的理由。 教材继续分析： 对于（3），小颖和小亮都认为直径AB垂直于直线CD。 小颖：因为图3—25是轴对称图形，AB是对称轴，所以沿AB对折图形时，AC与AD重合，因此∠BAC=∠BAD=90° 小亮：AB与CD要么垂直，要么不垂直，假设AB与CD不垂直，过点O作一条直径垂直于CD，（如图3—26），垂足为M，则OM＜OA，即圆心O到直线CD的距离小于⊙O的半径，因此CD与⊙O相交，这与已知条件“直线CD与⊙O相切”相矛盾，所以AB与CD垂直。 小颖的说法，初看上去，好像利用对称性来说理，没有问题，但作为圆的切线性质定理的证明，就很不严密了，问题就出在“AB是对称轴”上，AB为什么是对称轴呢？在上面“议一议”的第（2）小题中，图3—24的三个图形的对称轴都是经点圆心且垂直于直线l的一条直线，道理很简单，因为圆的对称轴经过圆心，而直线的对称轴垂直于这一直线，所以图3—24中的三个图形的对称轴都是经过圆心且垂直于直线l的一条直线，而到了图3—25中，为什么一上来就是AB是整个图形的对称轴呢？如果是对称轴，AB不就已经垂直于直线CD了吗？教材在这里要么前后矛盾，要么对“AB是对称轴”这个条件给的太过于随意。要知道九（下）的同学再过几个月就要上高中，以这样的语言让严密的推理一带而过，似乎太“小看”初三的学生了。 再来看第二种证明的思路，很明显小亮的方法是反证法，但最后的依据是圆心O到直线CD的距离小于⊙O的半径，因此CD与⊙O相交这与已知条件“直线CD与⊙O相切”相矛盾。那么，为什么圆心到直线距离小于⊙O的半径，CD就与⊙O相交呢？要解决这个问题之前，就必须要解决直线与圆相切时，d=r的问题，也就是先要推出圆的切线性质定理之后，才能得出直线与圆相切时，d=r继而，d＜r时，直线与圆相交，教材在这里整个逻辑有点颠倒，而在下一节“圆与圆的位置关系”这一节时，教材处理得没错，先说明了两圆相切时，切点在连心线上，再得到d与R、r的关系，所以本节课也应该是先要说明切点在圆与切线所组成的图形的对称轴上，再得出d与r的关系才符合常理，否则的话，假如要说明直线与圆相切时，d=r，我们可以这样来证明，用反证法：假如相切时d≠r，则d＞r或d＜r，而d＞r时，直线与圆相离，d＜r时，直线与圆相交，这与已知条件“直线与圆相切”相矛盾，如果这样，岂不可笑。 其实，要说明切点在对称轴上并不困难，在图3—24中就可很好地说明，首先过圆心且垂直于直线l的直线是三个图的对称轴，这样就可得到直线与圆相交时，两个交点的连线被对称轴垂直平分，这与垂径定理正好可联系起来，而直线与圆相切时，可用反证法证明切点在对称轴上，证明如下：假设切点不在对称轴上，则切点在对称轴的一侧，根据对称性，则在对称轴的另一侧必有另外一个公共点（注：切点是直线与圆的公共点），而当圆与直线有2个公共点时，直线与圆相交，这与已知条件“直线与圆相切”相矛盾，故切点在对称轴上，继而，得出直线与圆相切时，d=r，而且切线的性质定理也顺利得出。这样的逻辑似乎更合情理。 作为一线老师，本人以为北师大教材在培养学生逻辑推理方面有一些问题，而逻辑推理作为数学的重要内容在初中这一培养这种能力的黄金期过度弱化，岂不令人担心。 习题研究： 面积最值问题中的数形结合