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[本周教学内容]理解空间的七种距离。 1、空间两点间距离：平面上两点间距离；球面上两点间距离。 2、点到直线的距离。 3、点到平面的距离。 4、平行直线间的距离。 5、异面直线间的距离。 6、直线和平面间的距离。 7、平行平面间的距离。 [本周教学重点]掌握空间距离的转化 1、找出或作出有关距离的图形。 2、证明它们就是所求的距离。 3、利用解三角形的知识计算求解距离。 空间距离的计算中，点到平面的距离最具有代表性，它往往需要先转化为线、面间的距离，再转化为点到直线的距离，最后通过两点间距离求解。同时，利用体积法求解点到平面的距离，也是一种重要的方法。 [例题分析与解答] 例1、三棱锥P—ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，底面ABC上一点Q到侧面PAB、 侧面PBC、侧面PAC的距离依次为2，3，6。 求：P、Q两点间的距离。 分析与解答：如图，作QE⊥面PAB， QM⊥面PBC，QH⊥面PAC，E、M、N为垂足。 由PA、PB、PC两两垂直，所以PC⊥面PAB，PB⊥面PAC， PA⊥面PBC，可得三个侧面两两垂直。 设平面QEM与PB交于F，平面QEH与PA交于G，平面MQH与PC交于N，连接EF、MF、GH、GQ、NH、NM，可证明QMNH-EFPG是长方体。 ∴PQ===7。 例2、已知：二面角(-EF-(的平面角120°，二面角空间内一点P向(，(引垂线PA、PB，A、B为垂足，且PA=5，PB=4。 求：点P到直线EF的距离。 分析与解答：如图, 方法一：由 由 设EF与平面PAB的交点为O，连接OA、OB、OP 则OA⊥EF，OB⊥EF，PO⊥EF， 所以∠AOB为(-EF-(的平面角，∠AOB=120°， OP为所求点P到直线EF的距离。 由PA⊥(，PB⊥(，∴∠PAO=∠PBO=90°， ∴四边形PAOB是圆的内接四边形，∠APB=180°-∠AOB=60°。 在△PAB中，PA=5，PB=4，由余弦定理得： AB= 由PO是△PAB外接圆的直径，根据正弦定理得： =PO，∴PO==2 即点P到直线EF的距离为2。 方法二：由方法一得EF⊥平面PAOB，延长AO，PB设它们交于点C。 ∵PA⊥(，∴∠PAC=90°， ∵∠AOB=120°，∴∠APB=60°，∠C=30°， ∵PA=5，∴PC=10，∵PB=4，∴BC=6， ∵PB⊥(，∴∠OBC=∠OBP=90°， ∴OB=BC·tg30°=6×=2 在Rt△POB中，PO==2 即点P到直线EF的距离为2。 例3、已知：如图，ABCD是边长为2的正方形， PC⊥面ABCD，PC=2，E、F是AB、AD中点。 求：点B到平面PEF的距离。 分析与解答：由BD∥EF可证DB∥平面PEF，则点B到平面PEF的距离转化为直线与平面PEF的距离。又由平面PCA垂直平面PEF，故DB与AC的交点到两垂直平面的交线的距离为所求距离。 方法一：连接DB，AC交于O点，设AC交EF于G，连PG， 作OH⊥PG，H为垂足。 ∵E、F是AB、AD中点，∴EF∥DB，∴DB∥面PEF， ∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴EF⊥AC， ∵PC⊥面ABCD，∴EF⊥PC，∴EF⊥面PCG， ∵EF(面PEF，∴面PEF⊥面PCG， ∵OH⊥PG，∴OH⊥面PEF，即OH为所求点B到平面PEF的距离。 由ABCD边长为2，∴AC=2，GO=，GC=， ∵PC⊥面ABCD，∴PC⊥AC， ∴△OHG∽△PCG，∴, 由PC=2，PG= ∴OH== 即点B到平面PEF的距离为。 方法二：如图，连接BF、PB，设点B到平面PEF的距离为d， 由VP-BEF=S△BEF·PC =××BE×AF×PC =×1×1×2= 连AC交EF于G,连PG,由方法一知 PG=,EF=,S△PEF=××= ∴VB-PEF=·S△PEF·d=VP-BEF=, ∴d=1 d= 即点B到平面PEF的距离为。 [本周练习] 1、空间四点A、B、C、D每两点的连线长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则点P与点Q的最短距离是（ ） （A）a （B）a （C）a （D）a 2、在长方体ABCD-A1B1C1D1中，如果AB=BC=a，AA1=2a， 那么点A到直线A1C的距离等于（ ） （A）a （B）a （C）a （D）a 3、已知△ABC，AB=9，AC=15，∠BAC=120°，△ABC所在平面(外有一点P到此三角