7.7 常系数齐次.pptVIP

* 二阶常系数齐次线性微分方程: 和它的导数只差常数因子, 代入①得 称②为微分方程①的特征方程, 1. 当 时, ②有两个相异实根 方程有两个线性无关的特解: 因此方程的通解为 ( r 为待定常数 ), ① 所以令①的解为 ② 则微分 其根称为特征根. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 当 时, 特征方程有两个相等实根 则微分方程有一个特解 设另一特解 ( u (x) 待定) 代入方程得: 是特征方程的重根 取 u = x , 则得 因此原方程的通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 当 时, 特征方程有一对共轭复根 这时原方程有两个复数解: 利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解: 因此原方程的通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 小结: 特征方程: 实根 特 征 根 通 解 以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若特征方程含 k 重复根 若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项 则其通解中必含 对应项 特征方程: 推广: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 的通解. 解: 特征方程 特征根: 因此原方程的通解为 例2. 求解初值问题 解: 特征方程 有重根 因此原方程的通解为 利用初始条件得 于是所求初值问题的解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 的通解. 解: 特征方程 特征根: 因此原方程通解为 例5. 解: 特征方程: 特征根 : 原方程通解: (不难看出, 原方程有特解 推广 目录 上页 下页 返回 结束 例6. 解: 特征方程: 即 其根为 方程通解 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例7. 解: 特征方程: 特征根为 则方程通解 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束