3.6 有限群的分类.docVIP

§9 有限群的分类 凯莱定理：设是阶群，则一定与对称群的某个子群同构。 凯莱定理表明，理论上讲，研究有限群只需把对称群研究透就够了，但由于的阶数非常大，很难找出具体与的哪个子群同构。实际当中采用具体研究的方式。， 2。群的直和分解概念 定义 设是群的正规子群。如果，都存在唯一的，使得；同时当时，中的元素与中的元素可交换，则称为的直和，记为 例如，以克莱茵四元群为例，， 取 则 且有 从而根据定义有 再比如，6阶循环群，。取 ，，则不难验证有。 3.有限群的结构定理 群的分类思想就是把复杂的群分解成简单的、结构完全已知的 群的直和，而循环群的结构最简单、完全清楚，因此，总是将 一般的群分解成循环群的直和。以下将阶循环群记为。 情形1：有限交换群的情形 定理1 每个有限交换群都同构于一些循环群的直和，这些循环群的阶数分别为， 满足 ， 即 。 通常称为的不变因子（Invariant factors），其中为互不相同的素数，，则 （即循环群还可以进一步分解为更小的循环群的直和） 结合定理1和定理2得 定理3 任何有限交换群都可以写成一些有限循环群的直和，其中每个循环群的阶都是素数的方幂。 定理4 素幂阶循环群不可能再分解成阶数更小的循环群的直和。 定理5 若与互素，则。 将在整数范围内作因式分解，由于 ， 因此必有相同的素因子，把它们按从高到低的次序排列如下： 其中有些可以为0，且 称以上分解出的真因子都叫的一个初等因子(elementary factor). 定理1，2，3可以简写成形式 例1 确定所有4阶和6阶交换群。 解。（1），全部初等因子组为{2，2}，{}， 因此只有两种4阶交换群：，。 其中就是克莱茵四元群（见前面例子）。 （2），初等因子组只有{2，3}，因此 6阶交换群只有一个：。 但要注意，这里给出的仅仅是交换群的情形，还有6阶非交换群存在：。 例2 列出所有1500阶的有限交换群 解。全部初等因子组为 ， ， ， ， ， 因此共有6种1500阶的交换群，分别为 注意：利用定理5可以将重新改写成 , , , , , , 最后得到的不变因子分别为： {5，5，60}，{5，300}，{1500}，{5，10，30}，{10，150}， {2，750}。 作业：（1）决定20及20阶以下交换群的结构； （2）给出2250阶交换群的所有结构，并求出相应的不变因子。 再给出两个关于交换群的结论 定理6 素数阶的群总是交换群而且只有一个，即素数阶的循环群。 定理7 设是阶交换群，是的任何一个正因子，则总存在阶的子群。 注意: 定理7对非交换群不成立。如取为的全部偶置换作成的群（即交错群），它是一个12阶非交换群，但可以验证没有6阶子群。 情形2：非交换群的情形 正边形的对称群概念：令为正边形顺时针旋转的旋转对称，为关于过中心的对称轴的镜面对称，则正边形总共有个对称，正边形的对称群表示为： ， 其中， 为恒等变换。 定理5 设为素数，且不妨设。 若不整除，则； 若，则同构于由和生成的非交换群： 其中，不整除， 。 例子：， 不整除，所以15阶的群只有循环群。 推论 设是奇素数，则阶的群要么是循环群，要么是正边形的对称群。 例如， 阶群只有和； 阶群只有和； 阶群只有和。 定理6 8阶非交换群只有两个：一个是正四边形的对称群；另一个是四元数群 定理7 12阶非交换群有三个：一个是正六边形的对称群； 一个是交错群；一个是由两个元素生成的群，记为 总结: 15及15阶以下交换和非交换群列表 群 个数 1 1 2 1 3 1 4 , 2 5 1 6 , (即，非交换) 2 7 1 8 , ，, ， 5 9 , 2 10 , (非交换) 2 11 1 12 , , ，， 5 13 1 14 , (非交换) 2 15 1 当时，共有14个不同的16阶群，其中交换群有4个： ，其余10个为非交换群。 当时，共有51个不同的交换和非交换群。 因此，没有一个关于阶群个数的公式。