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讨论： 由微分定义得可微必连续: 3. 设 * 1. 偏导数的概念及有关结论 定义; 记号; 几何意义 函数在一点偏导数存在 函数在此点连续 混合偏导数连续 与求导顺序无关 2. 偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法 先代后求(复杂时)如P69 4 先求后代 利用定义 求高阶偏导数的方法 逐次求导法、 (与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序) §内容回顾 公式法 在原点的各偏导数是否存在？ 是否连续？ 2 显然 求 的一阶偏导数及 解: 当 时, 及(0,0)点处的二阶偏导数. 同理 不存在． 与 而 显然 解: 当 时, 不存在, 不存在, *二、全微分在数值计算中的应用(简介) 应用 一元函数 y = f (x) 的微分 近似计算 本节内容: 一、全微分的定义 全微分 一、全微分的定义 定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ) 可表示成 其中 A , B 不依赖于? x , ? y , 仅与 x , y 有关， 称为函数 在点 (x, y) 的全微分, 记作 若函数在域 D 内各点都可微, 则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微， 处全增量 则称此函数在D 内可微. (2) 偏导数连续 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系: (1) 函数可微 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微 函数在该点连续 偏导数存在 函数可微 则 定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 , 则该函数在该点偏导数 同理可证 证: 由全增量公式 必存在,且有 得到对 x 的偏增量 另 函数也必连续 反例: 函数 易知 fx(0,0)= fy(0,0)=0 注意: 定理1 的逆定理不成立 . 偏导数存在函数 不一定可微 ! 即: 我们已知道函数f(x,y)在(0,0)处不连续,则当然不可微. 定理2 (充分条件) 证： 若函数 的偏导数 则函数在该点可微. 所以函数 在点 可微. 注意到 , 故有 例如考查函数 易知 也连续,但 因此,函数在点 (0,0) 不可微 . 定理3 (可微的充要条件)!!! 在原点：偏导数是否存在？ 讨论： 是否连续？是否可微？ 2 0. 所以…不可微. 推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题. 例如, 三元函数 习惯上把自变量的增量用微分表示, 记作 故有下述叠加原理 称为偏微分. 的全微分为 于是 (一阶偏导数连续) 例1. 计算函数 在点 (2,1) 处的全微分. 解: 例2. 计算函数 的全微分. 解: 可知当 *二、全微分在数值计算中的应用 仅从理论上 简单讲述在近似计算方面的应用 由全微分定义 较小时, 及 有近似等式: (可用于近似计算函数的增量) (可用于近似计算函数值) 例3.计算 的近似值. 解: 设 ,则 取 则 §9.3内容小结 1. 微分定义: 2. 重要关系: 函数可导 函数可微 偏导数连续 函数连续 3. 微分在近似计算中的应用(略) (反例略) 思考与练习 1. P129 题 1 (总习题九) 函数 在 可微的充分条件是( ) 的某邻域内存在 ; 时是无穷小量 ; 时是无穷小量 . 2. 选择题 解: 同理 可得 （先代入） （后求导）