现代设计方法第九讲 有限元法-2.pptx

第11讲 有限元法2;10.3 有限元法的工程应用;　　(3) 简化后的力学模型必须是静定结构或超静定结构。 　　(4) 进行力学模型简化时，还要给定结构力学参数如材料弹性模量E，泊松系数 ，外载荷大小及作用位置，以及结构的几何形状及尺寸等。 ;2. 单元划分和插值函数的确定 ;　　? 根据位移插值函数，由弹性力学中给出的应变和位移关系，可计算出单元内任意点的应变； 　　? 由物理关系，得应变与应力间的关系式，进而可求单元内任意点的应力； 　　? 由虚功原理,可得单元的有限元方程，即节点力与节点位移之间的关系，从而得到单元的刚度矩阵。;　　整体分析是对由各个单元组成的整体进行分析。 　　整体分析的目的是建立节点外载荷与节点位移之间的关系，以求解节点位移。 　　把各单元按节点组集成与原结构体相似的整体结构，得到整体结构的节点力与节点位移??间的关系。;;　　(1) 整体节点位移列阵 { q } 　　 { q } 的建立，可直接按节点编号顺序和每个节点的自由度数排列而成。 　　这相当于将各个单元的节点位移 　直接叠加，共同节点只取一 个表示即可。 　　(2) 总刚度矩阵 { K } 　　 由各个单元刚度矩阵 直接叠加而成。 　　这种叠加是按各单元节点编号的顺序，将每个单元刚度矩阵送入总刚度矩阵中对应节点编号的行、列位置，而且交于同一节点编号的不同单元，对应于该节点的刚度矩阵子块要互相叠加。 　　总刚度矩阵中其余元素均为零。 ;　　图10-7所示为一块三角形薄板离散后的三角形网格，该结构共有 四个单元和六个节点，其编号情况以及节点载荷如图所示。支承情况 是在节点4、5、6 三处共有四个位移分量限定为零，即;四个单元的节点局部码如图10-8所示。;;　　对比图10-7与图10-8可以看出，四个单元节点局部码与节点总码的对应关系为： ; 假设在单元分析中，已得出单元 1 在整体坐标系中的单元刚度矩阵[K] (1)，写成分块形式为;;; 综上所述，在弹性力学平面问题中，通过单元分析得到局部坐 标系下的各个单元的刚度矩阵后，由它们组集成整体坐标系下的总 体刚度矩阵，需经如下步骤： 　　① 将所得的局部坐标系下的各单元刚度矩阵 节点局部码 转换为对应的节点总码，从而得到整体坐标系的单元刚度矩阵； 　　② 将整体坐标系的单元刚度矩阵的各子矩阵根据其下标的两个 总码对号入座，写在总体刚度矩阵相应的位置上； 　　③ 将下标相同的子矩阵相加，形成总体刚度矩阵中相应的子矩 阵。 ;　　整体总节点载荷列阵{F} 是由各单元节点载荷列阵 叠加而成的。 　　它是将各单元的 送到 {F} 中对应节点编号的行上，而且交 于同一节点的不同单元，对应于该节点的节点载荷子块要互相叠加。;; 在进行整体分析时，有时一个节点往往是几个单元的共有节点，该节点的节点力应该是共有节点的单元在该节点上的力的叠加，由此可以得到整体结构的节点载荷列阵{F}。 ;　　如图10-9所示，假设节点 i 是三个单元①、②、③的连接点，受相关单元上移置而来的外载荷 Rix与 Riy ，如图10-9(a)所示。 　　同时三个单元都受到节点 i 所施加的节点力Rix(1)、Riy(1)、Rix(2)、Riy(2)、Rix(3)、Riy(3)，如图10-9(b)所示。;;　　10. 解有限元方程 　　可采用不同的计算方法解有限元方程，得出各节点的位移。 　　在解题之前，应根据求解问题的边界条件，可将式(10-33)进行缩 减，这样更有利于方程的求解，然后再解出节点位移{q}。; 　例10-1　图10-10(a)所示为一个平面薄梁，载荷沿粱的上边均匀分布，单位长度上的均布载荷q =100N/cm 。假定材料的弹性模量为E，泊松比μ= 0，梁厚为t = 0.1cm。在不计自重的情况下，试用有限元法计算该梁的位移和应力。 ;　　解： 1. 力学模型的确定 由于此结构的长度和宽度远大于梁厚，而载荷作用于梁的平面内，且沿厚度方向均匀分布，因此可按平面应力问题处理。 因为此结构与外载荷相对其垂直方向的中线是对称的，所以取其一半作为分析对象如图10-10(b)，对称轴上的点约束横向位移为0。 ;　　2. 结构离散化 由于该问题属于平面应力问题，本例题选用单元类型为三节点三角形单元。 　　然后对该结构进行结构离散化，共划分两个单元，选取坐标系，并对单元和节点进行编号如图10-10(b)所示。 ;;　　对于单元②，见图10-10(d)，由节点坐标：i (0, 0), j (6, 0), m (6, 6)。 同理可得单元②应力矩阵： ;4. 求各单元