现代分析第六章(一).ppt

令 　则 故 由此可知，在瞬时冲击力作用下，物体的运动为一 正弦振动，振幅为 ，角频率为 (亦称固有频率)． 2．电路问题的拉普拉斯变换解法 拉普拉斯变换可用在解电路问题中，下面考察RLC电路． 图6.10 例9 在RLC电路中，串接直流电源E(图6.10)，求回路电流i(t)． 解 根据基尔霍夫定律，有 其中 即 而 将它们代入上式可得 初值为 这是RLC串联电路中电流i(t)所满足的关系式，它实际上是一个二阶线性常系数非齐次微分方程．对该方程两边取拉普拉斯变换，且设 [i(t)]=I(s)，则有 解出I(s)，得 求I(s)的拉普拉斯逆变换，得 i(t)= [I(s)] 特别地，若C＝1，R＝1，L＝2，E＝10，则 查表得 小结 Fourier变换，Laplace变换，δ函数和阶跃函数等内容在理论物理及其它许多应用科学中有广泛的应用，而且本章内容也为专业课的学习作好准备.全章内容分Fourier变换和Laplace变换. 1．在 的极限下，从以 为周期函数的Fourier级数过渡到非周期函数Fourier积分，从而引入Fourier变换的概念.拉氏变换与傅氏变换有密切联系. Fourier变换定义为: Laplace变换定义为: 它们都是一种积分变换关系，既有联系又有区别(见表6.1)． 表6.1 Fourier变换与Laplace变换的对照 Fourier变换 Laplace变换 积分核 原函数定义区间 原函数的条件 1. 满足Dirichlet条件； 2. 存在． 1. 及其导数在 上 除有第一类间断点外，处处连续； 2. 小于某指数阶函数 3. ， ． 反演式 与变换式形式对称． (其中 ) 与变换式形式不对称． Fourier变换与Laplace变换的许多性质是对应的，因为它们积分核都是指数函数，仅具体形式稍有不同．表6.2列出本书中介绍过的两种变换的对应性质． 表6.2 Fourier变换与Laplace变换的性质比较 Fourier变换 Laplace变换 1） 1) 2） [f (t±t0)] [ ] = 2) 3) 4) 4) 3) [f ／(t)]=jω [ ]； [ ] [ ] 利用傅氏变换和拉氏变换的性质，常可以简化积分的运算，结合例题认真掌握． 2. 从性质3)和性质4)可以看出，原函数的微积分运算对应于像函数的代数运算.因此，傅氏变换和拉氏变换常用来解微分方程和积分方程．而且f″(t)的拉氏变换与f(0)，f′(0)有关，常用于解决初值问题．与傅氏变换相比，拉氏变换对原函数的要求较宽，应用更为广泛． 应用变换解决具体问题时，反演是关键．拉氏反演比较灵活，我们通过具体示例介绍了主要的方法．无论拉氏变换还是傅氏变换，在实际应用中还可以查阅相应的变换公式表 3．介绍了δ函数和阶跃函数这些奇异函数的物理含义、定义和主要运算性质．这些都可以在实际问题中用于简化问题的处理和运算． 本讲结束 * 运行时, 点击按钮“泰勒”, 或相片 , 可显示泰勒简介,演示结束自动返回. * * 证明见江泽坚“数学分析”（上册） * 运行时, 点击按钮“麦克劳林” , 或 相片 , 可显示麦克劳林简介, 演示结束自动返回. * 运行时, 点击按钮“例如”, 或 “例如…“ 即可显示动画 ６.2.3非周期函数的频谱 1．周期函数与离散频谱 众所周知，一个谐波函数 是由幅值A，相位和频率ω0三个参数唯一地确定的． 对于周期为T的周期函数f(t),它可展成指数形式的Fourier级数: 对上式两边取Fourier变换,并考虑F(n)不是时间t的函数，由此可得 是周期函数的Fourier变换谱．上式表明，周期函数的频谱由无穷多个脉冲组成，这些脉冲位于频率nω0处，每个脉冲的脉冲强度为 . 需指出，虽然从频谱的图形上,这里 的与 是极其相似的，但两者含义不同．当对周期函数进行Fourier变换时,所得到的是频谱密度；而将该函数展成Fourier级数时，所得到的Fourier系数，是复指数分量的幅值． 可见，引入了脉冲函数之后、对周期函数和非周期函数可以用相同的观点和方法进行分析运算，这将给信号分析带来了很大的方便. 解 在区间 内的表达式为 且对