数列通项公式的求解方法.docVIP

精品论文 参考文献 数列通项公式的求解方法 甘肃省白银市平川中学　730913 数列的通项公式是数列的核心之一，在很多情况下，各种数列综合问题的求解，首先是对数列通项公式的求解，数列通项公式的求解问题往往是解决数列综合问题的突破口和关键。求数列的通项公式的方法和类型可归纳为以下几种： 一、累加法 若数列{an}满足an+1-an＝f(n)(nisin;N)，其中f(n)是可求和数列，那么可用逐项作差后累加的方法求通项，适用于差为特殊的数列。 例1：已知数列{an}满足an+1=an+2n+1,a1=1，求数列{an}的通项公式。 解：由an+1=an+2n+1得an+1-an=2n+1，则an=(an-an-1）+（an-1+an-2）+…+（a3-a2）+（a2-a1）+a1=2n+2n-3+…+3+1,所以数列{an}的通项公式为an=n2。 二、累乘法 若数列{an}满足　　=f(n)(nisin;N)，其中数列{an}前n项积可求，则通项{an}可用逐项作商后求积得到，适用于积为特殊数列???数列。 例2：数列{an}中a1=3，an+1=2nan，求数列{an}的通项公式。 解：∵an+1=2nan， there4;　=21，　=22，　=23，…，　　=2n-1， 　middot;　middot;　…　　=21middot;22middot;23…2n-1=21+2+3+…+（n-1）， 即an=3middot;2　　。 三、通用公式 若已知数列的前n项和Sn的表达式，求数列{an}的通项an可用公式an= 求解。一般先求出a1=S1，若计算出的an中当n=1适合时可以合并为一个关系式，若不适合则分段表达通项公式。 例3：已知数列{an}的前n项和Sn=n2-1，求{an}的通项公式。 解：a1=s1=0；当nge;2时，an=sn-sn-1=(n2-1)-[(n-1)2-1]=2n-1。由于a1不适合于此等式， there4;an= 。 四、构造法 当数列前一项an和后一项即an-1的递推关系较为复杂时，我们往往对原数列的递推关系进行变形，重新构造数列，使其变为熟悉的数列（等比数列或等差数列）。 1.待定系数法。 形如an+1=can+d (cne;0)的已知递推关系式求通项公式。 （1）若c=1，数列{an}为等差数列。 （2）若d=0，数列{an}为等比数列。 （3）若cne;1且dne;0，数列{an}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法来求。 例4：已知数列{an}中a1=3,an+1=2an+3,求数列的通项公式。 解法1：设an+1+A=2（an+A），即an+1=2an+A，所以A=3an+1+3=2（an+3），所以{an+3}是以a1+3为首项，以2为公比的等比数列，所以an+3=（a1+3）times;2n-1，故an=6times;2n-1-3。 解法2：因为an+1=2an+3，所以ngt;1时，an=2an-1+3。两式相减，得an+1-an=2（an-an-1），故{an-an-1}是以a2-a1=6为首项、以2为公比的等比数列， an-an-1=（a2-a1）times;2n-1=6times;2n-1， an=（an-an-1）+（an-1+an-2）+…+（a2-a1）+a1 =6（2n-1-1）+3=3（2n-1-1）。 例5：设数列{an}中a1=1，an+1=3an+2n+1,求{an}的通项公式。 解：设an+1+A(n+1) +B=3(an+An+B)， there4;an+1=3an+2An+2B-A， 与原式比较系数得： ， 即an+1+(n+1)+1=3(an+n+1)。 令bn=an+(n+1),则bn+1=3bn且b1=a1+1+1=3， there4; {bn}是b1=3为首项、公比q=3的等比数列， there4; bn=3middot;3n-1=3n，即an=3n-n-1。 2.倒数构造法。 一般地形如an= 　、anmiddot;an-1=an-1-an等形式的递推数列可以用倒数法将其变形为我们熟