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第五章 中学数学逻辑基础 讲授者：邵贵明 单 位：数学与计算机科学学院 一、问题情境 华罗庚先生曾经提出过一个问题： 一位教师让三位聪明的学生看了一下事先准备好的五顶帽子：三顶白帽子，两顶黑帽子。然后请三人同时闭上眼睛并给每人戴上一顶帽子(戴上帽子的人看不见自己的帽子),将其余的藏起来.随后请三人同时睁开眼睛，说出自己的帽子的颜色.三人互相看了看，踌躇了一会儿，觉得很为难.而后，三人几乎同时说出了自己的帽子的颜色.说出他们三人的帽子的颜色. §5.1 数学概念及其教学 5.1.1 数学概念 1.数学概念的意义 客观事物都有各自的许多性质，或者称为属性．人们在实践活动中，逐渐认识了所接触对象的各种属性．在感性认识的基础上，经过比较、分析、综合、概括，抽象出一种事物所独有而其它事物所不具有的属性，于是，便称其为这种事物的本质属性． 反映事物本质属性的思维形式叫做概念． 反映数学对象的本质属性的思维形式叫做数学概念． 数学概念通常用特有的名称或符号来表示． §5.1 数学概念及其教学 5.1.1 数学概念 1.数学概念的意义 数学概念通常用特有的名称或符号来表示． 名称（或符号）和与此相关联的概念分属两个不同的范畴． 概念反映名称（或符号）的内容，表达出人们认识事物的结果，而概念的名称（或符号）是表达概念的语言形式． 有时同一个概念会有不同的名称（或符号），如“5”、“五”、“five”都表示同一个概念。因此，使用名称（或符号）时，重要的是它所表达的内容，即相关联的概念本身． §5.1 数学概念及其教学 5.1.1 数学概念 2.概念的内涵与外延 概念所反映的本质属性称为概念的内涵. ——质 概念所反映的对象的总和，称为概念的外延．——量 例如，“平行四边形”这一概念的外延是“所有平行四边形的集合”，“偶素数”这一概念的外延是“2”． 必须注意“属性”与“本质属性”的不同．一个数学对象的某个属性，可以是其它数学对象也具有的，但是本质属性是它区别于其它数学对象的属性．例如，一组对边平行“是平行四边形的属性，但不是本质属性；“对角线相等”是正方形的属性，但不是本质属性． §5.1 数学概念及其教学 5.1.1 数学概念 一个概念的内涵实际是一个等价类，这个概念的内涵的每一个表现形式都是它的一个代表元．我们约定，一般情况下，说出一个概念的内涵，只要说出它的任一个代表元． 概念的外延和内涵是主观对客观的认识，由于人们对客观事物的认识是发展变化的，概念的外延和内涵必然相应地发生变化，但是在发展变化的过程中有其相对的稳定性． 例如角的概念，起初角是作为具有公共端点的两条射线所构成的图形．其外延在小学阶段为0°到180°的角，到初中发展为0°到360°的角．后来发展成：角是一条射线绕着端点旋转所形成的图形．其外延，在平面几何中为0°到360°的角，在三角中发展为任意角．在以上的发展变化过程中，角这一概念的外延与内涵都发生了变化，但是在数学科学体系的确定的阶段，每一个数学概念的外延和内涵都是确定的. 概念的外延和内涵二者是相互确定的． 当用集合表示一个概念的外延时，就给出了这个概念的内涵． §5.1 数学概念及其教学 5.1.1 数学概念 3.概念间的关系 （1）相容关系 如果两个概念的外延至少有一部分重合，则称它们之间的关系为相容关系．相容关系可分为以下三种情况： i）同一关系 如果两个概念的外延完全相同，则称这 两个概念间的关系为同一关系，这两个 概念称为同一概念． §5.1 数学概念及其教学 5.1.1 数学概念 （1）相容关系——同一关系、从属关系、交叉关系 i）同一关系 例1 下列各组概念是同一概念： （i）偶素数；最小的正偶数． （ii）有理数；形如 p / q （p、q是整数， q≠0）的数． （iii）等腰三角形底边上的高、中线、 顶角的平分线． §5.1 数学概念及其教学 5.1.1 数学概念 （1）相容关系——同一关系、从属关系、交叉关系 ii）从属关系 如果一个概念A的外延真包含于另一个概念B的外延，那么称这两个概念之间的关系为从属关系． 外延较小的概念A——种概念， 外延较大的概念B——属概念． §5.1 数学概念及其教学 5.1.1 数学概念 （1）相容关系——同一关系、从属关系、交叉关系 iii）交叉关系 如果两个概念的外延有且只有部分重合，那么称这个概念间的关系为交叉关系，这两个概念叫交叉概念． 例3 下列各组概念是交叉概念： （i）正数；整数．（ii）等腰三角形；直角三角形．（iii）矩形；菱形． 两个交叉概念的外延重合部分——具有这两