第十六讲、函数y=Asinx的图像与性质.docVIP

第十六讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质 （其中x∈R , A0,ω0） 一、知识点： 1.函数(A0,ω0)的周期为T=_____,最大值是____, 最小值是 ，振幅是 ，相位 ，初相 . A ：称为振幅； T＝：称为周期； f＝：称为频率； ωx＋：称为相位, x＝0时的相位称为初相 作函数(A0,ω0)在一个周期内的简图时，用“五点法”， 五点的取法是：设t=,由t分别取 , , , , 来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。 2、函数(A0,ω0)的图象可以由函数的图像经过平移或伸缩变换而得到：先把正弦曲线y=sinx上所有的点 （）或 （）平行移动个长度单位，再把所得各点的横坐标都 （）或 （0）到原来的倍（纵坐标不变），再把所得各点的纵坐标都 或 到原来的A倍（横坐标不变）而得到的。 3、画出函数y＝3sin(2x＋)的图像 解：(五点法)由T＝，得T＝π 列表： x – 2x+ 0 π 2π 3sin(2x+) 0 3 0 –3 0 描点画图： 这种曲线也可由图像变换得到： 即：y＝sinx y＝sin(x＋) y＝sin(2x＋) y＝3sin(2x＋) 一般地，函数y＝Asin(ωx＋)，x∈R(其中A＞0，ω＞0)的图像，可以看作用下面的方法得到：先把正弦曲线上所有的点向左(当＞0时)或向右(当＜0时) 平行移动｜｜个单位长度，再把所得各点的横坐标都变为原来的倍(纵坐标不变)，再把所得各点的纵坐标都变为原来的A倍(横坐标不变)， 就得到函数y＝Asin(ωx＋)，x∈R(其中A＞0，ω＞0)的图像 4. 函数y=Asin(ωx+φ),x∈R（其中A0,ω0）的性质： 周期：; 单调递增区间:由2 kπ-≤ωx+φ≤2 kπ+ （k∈Z）可解得. 单调递减区间.由2 kπ+≤ωx+φ≤2 kπ+](k∈Z）可解得. 类似可求,对称轴和对称中心. 5、.三角函数求最值的方法: 化为Asin(ωx+φ), 换元法,配方法,数形结合,不等式法,单调性法等. 二、练习 1、已知如图是函数y＝2sin(ωx＋) 其中｜｜＜的图像，那么ω＝ ＝ （ω＝2，＝） 解：由图可知，点(0，1)和点(，0) 都是图像上的点将点(0，1)的坐标代入 待定的函数式中，得2sin＝1， 即sin＝，又｜｜＜，∴＝ 又由“五点法”作图可知，点(，0)是“第五点”， 所以ωx＋＝2π，即ω·π＋＝2π，解之得ω＝2， 2、已知函数y＝Asin(ωx＋)在同一周期内，当x＝时函数取得最大值2，当x＝时函数取得最小值－3，则该函数的解析式为 （ y＝2sin(3x＋) ） 解：由题设可知，所求函数的图像如图所示， 点(，2)和点(，－2)都是图像上的点， 且由“五点法”作图可知，这两点分别是 “第二点”和“第四点”，所以应 有： ，解得 3、求函数的值域： 解： 即原函数的值域为 4. 已知函数，（1）求的值； （2）设求的值. 解：（1）； （2） 故 5、函数f（x）=sinx-cos(x+)的值域为 答案：[-,] 解：f（x）=sinx-cos(x+)， ，值域为[-,]. 6、 已知函数（Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）求的最大值和最小值； （Ⅲ）若，求的值 解： （Ⅰ）的最小正周期为; （Ⅱ）的最大值为和最小值； （Ⅲ）因为，即, 即 7、求函数的值域和最小正周期. 解: ∴ 函数的值域是,最小正周期是； 作业 1.已知函数图象的一个最高点为（1，3）其相邻的一个最低点为（5，-3），则= 。 2、函数是常数，的部分图象如图所示， 则 答案： 解：由图象知：函数的周期为，而周期，所以，由五点作图法知：，解得，又A=， 所以函数，所以. 3、当函数取得最大值时，x=____. 答案： 解：函数为，当时， ，由三角函数图象可知，当， 即时取得最大值，所以. 4、已知函数。 （Ⅰ）求的最小正周期： （Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值。 解：（Ⅰ）因为