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关于SARS模型的建立与相关的预测分析 摘要：本文先根据材料提供的模型与数据较为扼要地分析了附件1的模型的优缺点，全面地评价了该模型的合理性与实用性。而后在对问题进行较为全面评价的基础上引入更为全面合理的假设和建立系统分析模型。运用联立微分方程组体现疫情发展过程中各类人的内在因果联系，并在此基础上运用经典的龙格——库塔微分方程求解算法结合MATLAB编程(程序在附件一)拟合出与实际较为符合的曲线并进行了疫情预测。同时运用双线性函数模型对卫生部的措施进行了评价并给出建议。而后运用差分方程（程序在附件二）就SARS对经济（主要是旅游业）的影响进行了较为准确的分析，进而通过模型算出的理论预测数值与实际数值进行对比，以数值上的显著差异直观地表现了SARS对经济（旅游）的影响，并对接下来的几个月进行了较为合理的预测。本文的最后，通过本次建模过程中的切身体会，以一篇短文评述去说明建立如SARS预测模型之类的传染病预测模型的重要意义。 关键词：微分方程 龙格—库塔算法 SARS 双线性函数模型 差分方程　数学模型 问题的重述 SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下： （1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。 （2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件2提供的数据供参考。 （3）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。附件3提供的数据供参考。 （4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。 （二）对附件1所提供的模型的评价 该模型的合理性首先体现在模型假设上：“假定初始时刻的病例数为N0，平均每病人每天可传染K个人（K一般为小数），平均每个病人可以直接感染他人的时间为L天。” 其一，一般来说每病人每天可传染的人数与当时的健康人数有关[1]，但由于北京的人数基数较大，SARS病人数相对较少并且SARA持续时间不是很长，所以这样假设也是可以的。 其二，每个病人可以直接感染他人的时间是有限的，该模型考虑到了这一点，也是很合理的。 该模型的合理性还在于用数理统计的方法估计相关参数。 该模型的实用性是较好地模拟与预测了北京的SARA数据与发展。在传染病发病初期对疫情的预测结果还是较为理想的，这主要得益于发病初期，由于病情来得突然，有关部门没有来得及采取措施加以控制，使病情得以蔓延迅速，而且发病初期在治疗方法上不是特别有效，治愈所需的时间长，所以使用作为模型进行估计以及参数的假设均较为合理，基本上是可行的。 但是到了疫情发展中后期，由于政府部门采取强硬措施加强防治工作以及人民群众的防范意识与警觉程度上的普遍提高，加之治疗措施的改进，使得每天被传染的人数下降，并且治愈的人数在不断增加，治愈时间也在不断缩短，每天的病人数应在上一天的基础上减去治愈和死亡的人数，并且由于采取强硬措施,“L”的取值会大大的减小，“K”取值也会是个变量，而不是常数。大多数疑是病人往往在早期就会被隔离，所以，基本上很少能转化成自由非典病人而去接触并传染别人。如果此时还是选取这样的单调递增函数作为预测模型，就会有较大的误差。 该模型的另一个不足是没有考虑SARS的潜伏期，也没有对人群进行合理的分类（如易感染人群、病人、治愈人群等等），所以必须建立更为合理的假设与模型。 （三）定义与符号说明 S：表示易感染人群即健康者在人群中的比例。 E：处于潜伏期人群在人群众的比率。，这种人暂时未发病，但他们最终将发病。 I：已受感染者即病人在人群中的比例。 R：移出者(包括“出院者”和“死亡者”)在人群中的比例。 M：未被隔离的带菌者。 X：疑似病人。 a:每个病人每天有效接触并使之感染的平均人数（常数）。 b:退出率，即SARS患者的每日死亡率和每日治愈率之和。 c：潜伏期的病人的日发病率。 d: 每个未被隔离带菌者被隔离前平均每天感染有效人数。 x1: 疑似中每日被排除的人数占疑似人数的比例。 x2：疑似者中每日确诊的人数占疑似人数的比例。 j：每个未被隔离的带菌者转化为病人的日转化率。 k：被未被隔离的带菌者有效传染的人中可以控制的比例。 τ0:SARS 潜伏