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第七章 方差分析 前面谈到，t检验适合于对定距（或定比）数据服从正态分布的两个样本的平均数差异性检验以判断两个样本是否来自两个不同的总体。当我们对两个以上的组别或试验条件进行平均数差异性检验时，我们就面对两个以上的样本，这时t检验就不合适了。这是因为如果对多个样本分别进行两两检验，那么犯第一类错误(type I error)的概率就会比我们预想的大，样本平均数差异的“显著性”就被夸大(Woods et al., 2000: 194)。比如，我们设定= .05，那么t检验拒绝零假设出错的概率就为5%，或者说犯第一类错误的概率是5%。当我们多次使用两两检验时，发生第一类错误的概率就为1－(1－)c（c为t检验的次数）（韩昭，2004：170）。如果我们要进行2次t检验，产生第一类错误的概率就为1－(1－0.05)2 = 0.0975；进行3次t检验产生第一类错误的概率为1－(1－0.05)3 = 0.1426，如此等等。由此可见，重复t检验的次数越多，犯第一类错误的概率就越大。除非我们把显著性水平设得更低，否则我们就不能容忍t检验造成的第一类错误。因为概率水平被反复使用就会很难解释，统计学家创造了其它分析形式（t以外的形式），便于在处理各种多重比较时保持概率水平稳定(Brown, 1992: 647)。如果我们想把总体显著水平(overall significance level)控制在某一数值（比如= .05）上，并且希望对两个以上的组别或试验条件进行一次性的平均数差异检验，那么我们就要求 助于方差分析了。 7.1 方差分析的基本原理 方差分析的英文表达是analysis of variance，简称ANOVA。方差分析是一个总称，包括单项方差分析（One-Way ANOVA）、双向方差分析（Two-Way ANOVA）、多变量（多元）方差分析（Multivariate ANOVA，MANOVA）、重复测量方差分析（Repeated Measures ANOVA）、协方差分析（Analysis of Covariance，ANCOVA）和多变量（多元）协方差分析（Multivariate Analysis of Covariance，MANCOVA）等。不同类型的方差分析，其原理也不尽相同，需要分别讨论。这里，只简单介绍不同类型的方差分析的共性特点。 方差分析将（第一类错误的概率）控制在预先设定的水平，用于同时检验3组或3组以上平均数的差异，可以回答一个组的平均数是否显著地不同于同类数据中的其它一个或多个组的平均数。方差分析利用方差的可分解性，将总方差（，t是total的缩称）分解成两大部分。一个是组内方差（within-group variance, ，是within groups的缩称）。组内方差有时又叫误差(error)或残差(residual)，用表示。另一个是组间方差，常用表示（是between groups的缩称）。组间方差还可以进一步分解为不同来源的方差。总自由度也被相应地分解成若干部分。方差分析计算出各变异来源的均方（方差与对应自由度的比值）与误差均方(误差与对应自由度的比值)比值，借助F分布表作出统计推断，判断各因素（和交互作用因素）的各组均数之间有无显著性差异。 同t检验一样，方差分析也是参数检验方法。进行方差分析，有3个基本的必要条件：因变量(dependent variable)是定距或定比变量，即连续型变量。自变量(independent variable)是名义或类别变量；总体呈正态分布；总体方差齐性。下面重点讨论2种方差分析：单向方差分析和双向方差分析。 7.2 单向方差分析 7.2.1 单向方差分析的基本概念 单向方差分析(One-Way ANOVA)又称单因素方差分析，是最简单的方差分析方法。所谓的单向(One-Way)就是分析数据中只有一个自变量（又叫因素）。在完全随机化的(completely randomized)单向方差分析中，有3个方差：总方差()、组间方差()和组内方差(，即误差)。3个方差之间的关系是：。各个方差的计算公式及自由度为： （）， （=），= （=）。 公式中，是独立样本的容量，是处理组数，是各个独立组样本观测值的平均数，（g是grand的缩称）是各个独立组所有观测值的平均数，是第组第个数值，是第组观测值的平均数。在实际计算中，我们只需求出2个方差，再根据3个方差之间的数学关系就可以求出另一个方差。它们的均方公式为各自的方差除以各自的自由度： ，， （代表总均方，代表组间均方，代表组内均方），也可以写成： ，=，= 。 单向方差分析除了要求满足方差分析的一般条件之外，还要求各组独立且各观测值独立。单向方差分析中，统计量为组间均方与组内均方（即误差均方