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构造图形、化解难点、转化思想、演绎真知 ——“直线与平面的垂直”课堂教学的构想、实现与反思 上海市上南高级中学 周漪 课前构想 教学五环节中上好课是提高教学质量的中心环节，课堂教学的总体要求是：加强双基，培养能力，发展智力，让学生学会学习。数学课程标准也明确指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索和合作交流是学生学习数学的重要方式。”特别是当碰到教学难点时，如何让学生探究难点，掌握知识是教师在组织课堂教学的过程中应当花力气解决的关键。 在立体几何教学中，直线与平面垂直的判定定理的证明是一个难点。如何化解难点，让每一位学生掌握定理的证明与应用，从而提高学习数学的能力，最重要的是在课堂上要激活学生的思维，学生只有经历知识的生成过程，与教师一起参与，教学活动才能获取真实有效的知识，所以我在设计这节课时，采取了“问”、“引”、“启”、“探”的方法。我的设想是： 一是“问”，就是提问，由于这条定理的证明难度较高，与前面所学的数学知识联系较多，我设想设计一系列问题，做好攻克难点的准备工作，提问有启发性，使学生的思维活跃起来，一节课创设情境常常是成功的基础。 二是“引”，如何引出新课？我设想通过一系列实例从直线与平面垂直的定义出发逐渐引出判定定理，并把两者比较，从而使学生明确这一定理的可操作性。 三是“启”，即设想在证明过程中不断启发学生如何构造图形，应当说平面几何中，三角形全等的证明是学生熟悉的，我设想把空间问题转化为平面问题，通过平面问题的解决，在上升到空间问题的解决。 四是“探”，我设计用分析法进行分析的探究方法，使学生的思维始终在探究过程中闪出火花。 为了使师生在课堂上产生共鸣，空间图形的研究中，实物演示是十分重要的。我设计了一些教具，辅以电化演示把整节课的各部分串联起来。 课堂实施 课题： 直线与平面的垂直 教学过程： 复习提问： 前面已经研究了空间两条直线的位置关系以及直线与平面位置关系中直线与平面平行的情况，让我们回忆如下几个知识点： 问题1： 空间不重合的两条直线有哪几种位置关系? 平行、相交、异面。 问题2： 经过一点和一条直线垂直的直线有几条？ 无数条，强调两条直线的垂直除了相交垂直外还包括异面垂直（空间→平面）。 问题3： 空间一条直线和一个平面有哪几种位置关系? 直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交。 问题4： 当直线与平面相交时，这条直线和这个平面内的直线有哪几种位置关系? 相交、异面。 引出直线与平面垂直的定义和判定定理 今天，我们学习直线和平面相交的一种特殊情形——直线与平面垂直。这方面的实例很多。如： 直立的电线杆和地面。 教室里的吊灯线和天花板。 课桌的脚和桌面…… 都反映了直线与平面垂直的直观情况。（此处可让学生自己联系生活中的其他实例。） 又如把一根木条放在讲台桌面直立与倾斜两种不同的相交位置关系，可使学生认识到直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊状态。当直线与平面垂直时，这条直线叫做这个平面的垂线，这个平面叫做这条直线的垂面，直线与平面的交点叫做垂足。 过一点有且只有一条直线和一个平面垂直：过一点有且只有一个平面和一条直线垂直。 让我们将书打开直立在桌面上，观察书的书脊(看作一条直线)和书的各页和桌面(看作一个平面)的交线(看作平面内的许多条直线)之间有怎样的关系? 书脊和各交线都是垂直的，于是得出： 直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任何一条直线都垂直，那么我们就说这条直线和这个平面垂直。 强调定义中的“任何一条直线”与“无数条直线”是不同的，定义的实质指直线与平面内的所有直线都垂直。 如何来判定直线与平面垂直呢？按照定义，要证明直线与平面内所有直线都垂直才能得出直线与平面垂直，这是无法办到的，应当设想一种容易操作的判定方法。 这时让学生自己探究如何简化定义中的“所有直线”以找到一种可操作的判定方法。在学生自由讨论的过程中，要注意引导，让他们考虑自己的观点是否严谨可行、符合数学逻辑。如当有学生提出是否可用平面内的两条直线来进行判定，这时应让学生考虑两条直线的位置关系，对每种位置关系是否可行、是否有反例。 在讨论中可适当联系生活实际，如：木工判断一根立柱是否和板面垂直的方法是用角尺的两条直边分别靠紧立柱和板面检查两次，这两次在板面内成相交的两条直线，如果角尺的两条直边和立柱、板面都密合，便可判定立柱和板面垂直。 由此提升而得： 直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。 可表达为： ，，，， 让我们比较一下“线面垂直”的定义和判定定理对平面内与已知直线垂直的直线的要求 数　量 位　置 定　　义 无数条 任意放置 判定定理 两条 相交