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第五章 正交变换与仿射变换 迄今为止,我们把几何图形都看成是静止的、不变的,对几何图 形的性质也是孤立地进行研究,没有联系图形位置的改变与形状的变 化。然而万事万物总是在不停地运动和变化着，物体的位置和形状 也是如此。对物体位置和形状的各种变化规律进行研究,并给以数学 描述,很有必要。例如:一物体被搬动了,如果其形状不改变的话,这是 一种运动。又如长方形的窗格被阳光斜投影到地面上,得到一个平行 四边形的影子,这是形状的变化。初步探讨图形在运动或变化下的性 质是本章的任务。这里将介绍图形的两种简单形变:正交变换与仿射 变换，讨论二次曲线和二次曲面在这两种变换下的性质。我们借助 于坐标,用解析的方法(代数方法)来描述变换,并讨论图形在变换下的 不变性质。在几何学中,研究图形在各种几何变换下的不变性质和不 变量是极其重要的。 §1 映射与变换 §2 平面的正交变换 §3 平面的仿射变换 §4二次曲线的度量分类与仿射分类 §5 空间的正交变换与仿射变换 定理3.4 平面上的任何一个仿射变换可分解为一 个正交变换与一个沿两个互相垂直方向伸缩的乘 积。 证明 任取一直角坐标系,由(3.1)给出的仿射变换 τ把单位圆 变为一个椭圆(图5.3),设它 的中心为O’,而 是两条互相垂直的对称 轴(或主轴),记向量 将它们单位化 我们有仿射坐标系 与直角坐标系 。 又设在τ下, 的原象为 , 即 ,由于椭圆的两条对称轴是互相共 轭的,即每一条对称轴的平行弦中点轨迹沿着另一条 的方向,而仿射变换τ保持共轭性不变(参见下一节), 因此 与 也是单位圆上两个互相垂直的半径向量, 故 为一直角坐标系。利用推论3.1，有 正交变换σ: 伸缩变换α: 因此ασ: 故τ=ασ,即τ分解为正交变换σ与伸缩α的乘 积。 §4 二次曲线的度量分类与仿射分类 在1872年,德国数学家F.Klein提出了按变换群给各种几何学科进行分类的思想,对几何学的研究有很大的影响。对这一思想,我们将作一简单的介绍。以平面上二次曲线为研究对象,说明它在度量几何学(欧几里得几何学)与仿射几何学中各是怎样分类的。 1.变换群与几何学科分类 由§2和§3中我们知道,平面上所有正交变换的集合构成 平面上的一个变换群,称之为平面上的正交群;平面上所有仿 射变换的集合也构成平面上的一个变换群,称之为仿射群. 如果变换群G中的一个子集H也构成一个变换群,则称H为G 的子变换群。由于正交变换也是仿射变换,所以正交群是仿射 群的子变换群。 另外,平面上绕原点的旋转变换的全体也构成群,称为平面上 的旋转群,平面上的刚体运动的全体也构成群,称为平面上的 运动群。以上变换群的关系为 旋转群 运动群 正交群 仿射群。 定义4.1 几何图形在正交变换下的不变性质(或几何量) 称为图形的度量性质(或正交不变量),研究这些性质的几何 学称为度量几何学(即欧几里得几何学);几何图形在仿射变 换下的不变性质(或几何量)称为图形的仿射性质(或仿射不 变量),研究仿射性质的几何学称为仿射几何学。 由于正交群是仿射群的子变换群,所以仿射性质(仿射 不变量)也是度量性质(正交不变量)。但是反之,度量性质不 一定是仿射性质。仿射性质有共线、平行、相交、中心对 称等。度量性质有垂直、轴对称等。仿射不变量有共线三 点的简单比,代数曲线的次数等。正交不变量有两点间的距 离、两向量的夹角、图形的面积以及二次曲线的 等。 一般而言,仿射变换可以改变两点之间的距离、 两直线间的夹角,因此，关于距离、角度等的性质和 不变量就不是仿射性质和仿射不变量。 二次曲线直径的共轭性是仿射性质,理由如下: 首先在仿射变换τ下,二次曲线C的弦变成二次 曲线C’的弦,C的平行弦变成C’的平行弦;C的弦的 中点变成C ’的弦的中点,所以如果l是C的直径,则 τ( )= 是 C的直径。 设 是C的一对共轭直径(此时假设C是中心曲 线), 的方向为 。由于 的方向共轭于