第2章 离散方程组的计算机解法-1.ppt

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第2章 离散方程组的计算机解法-1

第2章 离散方程组计算机解法 ※离散方程组的各种计算机求解方法, 消去法,直接三角法,迭代法,特征值求解 ※系数矩阵紧凑存贮的两种有效方法: 一维变带宽压缩存贮方法; 非零元素存贮方法 。 ※参考:数值分析、计算方法等专题 2.1 概述 电磁场问题的数值分析计算,常是对离散后的线性代数方程组的求解。 线性代数方程组的数值解法分为直接法和迭代法两类。 直接法包含有:高斯消去法、列主元高斯消去法、全主元高斯消去法;克劳特(Crout)分解法、乔累斯基(Cholesky)分解法、改进的平方根法(LDLT)等解法。 迭代法则有:高斯—赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法、逐次超松驰(SOR)迭代法、共轭梯度法等等。 直接法的特征是: 如不考虑舍入误差,能在预定的运算次数内求得精确解。 适用于中等规模(阶数n100)的方程组及带型或稀疏方程组。 迭代法的特征在于: 将求解方程组问题转化为构造一个无限序列,其极限就是方程组的解答, 缺点是:在有限迭代步内是得不到精确解的, 优点是:程序编制较为简单,而且显著地节省存贮单元。 对于较高阶的方程组,特别是大型稀疏方程组,由于直接法计算代价较高,且因舍入误差影响的存在,使得迭代法更具有竞争力。 高度稀疏的大型代数方程组(如有限元法),系数矩阵常采用紧凑存贮方法,如: 一维变带宽压缩存贮法和非零元素存贮法, 两者可分别应用于直接法和迭代法的求解。 因电磁场媒质特性的非线性导致的非线性代数方程组的求解问题(如有限元法),其解法有: 非线性代数方程组的线性化迭代法(基于线性化处理) , 牛顿—莱夫逊法(性能更优)。 波导场的分析最终归结为广义代数特征值的求解,因此,应讨论广义代数特征值和特征向量的数值求解方法。 2.2 高斯消去法 高斯消去法是求解线性代数方程组古老而常用的有效方法。 它易于在计算机上实现,同时又是构造其它方法的基础。 改进和变形可以得到: 高斯选主元素各方法—如列主元消去法、全主元消去法等; 三角分解各方法——如克劳特分解法、乔累斯基分解法、改进的平方根法等。 2.2.1 高斯消去法的基本思想 解线性代数方程组 其中,A为n×n阶方阵,x、b分别为n阶列向量,即 基本思想: 按序逐次消去未知量,把原来的方程组化为等价的三解形方程组, 用矩阵行的初等变换将系数矩阵A约化为简单的三角形矩阵; 然后按相反顺序向上回代求解方程组。 2.2.2 计算过程 高斯消去法的计算过程分为两主步: 第一主步是正消去过程,目的是把A化为三角形矩阵; 第二主步是回代过程,目的是求方程组的解。 (1)正消过程 计算中要求aii≠0(i=1, 2, …,n),共包含如下n-1步: 首先:将系数矩阵A和方程组右端项向量b写成增广矩阵形式,并将其各元素加注上标“0”,记为 第一步:用第一个方程消去后n-1个方程中的未知数x1,即将上述矩阵的第 i 行分别减去第一行 的 倍,得到 这里 第二步:对经过第一步消元生得到的矩阵[A(1),b(1)],类似地用第二行消去第三行到第n行中的,它产生了矩阵 这里 重复上述过程:在正消过程的第k步,从矩阵[A(k-1),b(k-1)],算出矩阵[A(k),b(k)]的计算式是 经n-1步消元后,就得到: 于是得到上三角矩阵方程组 这就完成正消过程。 (2)回代过程 回代过程比较简单,按递推关系,三角方程组(2-6)的解可按下式计算 2.2.3 算法 方程组(2-1)的求解算法: 其中A=(aij)n×n。 约化中间结果时,A(k)将覆盖A;乘数mik冲掉aik, 计算结果x存放在b内。 (1)正消:对k=1, 2, …, n-1 1)若akk=0,则计算停止; 2)对i=k+1,k+2,…, n (2)回代: 如果ann=0,则停止计算。(方法无效) 否则 1) xn=bn/ann; 2)对k=n-1, n-2, …, 1 (3)输出解 2.2.4 方程的使用条件及运算次数 求解条件是系数矩阵A的顺序主子式全不为零,即 高斯消去法所需的乘除运算次数约为n3/3(n为方程组的阶数)。 2.2.5 对称系数矩阵的一维变带宽存贮法 对于大型稀疏对称正定的代数方程组(实际情形多是如此),为了减少内存量,广泛采用压缩存贮的方法,如一维变带宽存贮法。 一维变带宽存贮就是每行只存从第一个非零元素到对角线为止的元素,用两个一维数组AA和IDA实现按行存贮n阶对称矩阵A的下三角元素的存贮方法。 数组AA用于按行存放矩阵A中每一行从最左边的非零元素到对角线之间的所有元素(含对角线元素及其中间可能存在的零

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