离散数学(第35讲习题课6).ppt

计算机学院 计算机科学与工程学院 冯伟森 Email ：fws365@scu.edu.cn 2008 年 11 月 26 日星期三 * 计算机学院 * 主要内容 * 计算机学院 * 第十四、十五、十六章 一、基本概念 代数系统、单位元或幺元、零元、幂等元、逆元、半群、含幺半群、群、子半群、群的阶、子群、交换群、循环群、生成元、元素的周期、右陪集、左陪集、子群的指数、不变子群(或正规子群) 、群的单一同态、满同态、同构、同态核、环、含零因子环、交换环、含幺环、整环、子环、环的同构与同态、域 * 计算机学院 * 二、基本要求 1、会求二元运算的特异元素； 2、判断或者证明给定集合和运算是否构成半群、含幺半群和群； 3、会运用群的基本性质证明相关的命题； 4、熟悉陪集的定义和性质； 5、熟练掌握不变子群、循环群的基本性质和证明方法（按定义证明和反证法） * 计算机学院 * 6、会求循环群的生成元及其子群； 7、掌握Lagrange 定理及推论，学习使用该定理解决简单的问题； 8、熟悉n元置换群 9、熟练掌握环、域的基本性质和证明方法（按定义证明和反证法） * 计算机学院 * 例1 证明下述代数结构是整环 ＜I[x],+, ×＞ 其中I[x]是所有的x的整系数多项式的集合， “+”、“×”表示多项式的加法和乘法。 证明：（1） 证明＜I[x],+＞是交换群（按定义证明） +在I[x]上结合律和封闭性成立 显然0∈ I[x] ，且对任意的 f(x)∈ I[x] ，显然- f(x)∈ I[x] ，且 f(x)+（- f(x)）=0=（- f(x)）+ f(x) 所以单位元和逆元存在，且+满足交换律， 所以 ＜I[x],+＞是交换群。 * 计算机学院 * （2）证明＜I[x], ×＞是含幺交换半群 普通乘法满足结合律，且对任意的 f(x)，g(x)∈ I[x] ,显然有f(x)×g(x)∈I[x] 封闭性成立，整数1是单位元，且满足交换律，所以 ＜I[x], ×＞是含幺交换半群 （3）普通乘法对加法的分配律显然成立，所以 ＜I[x],+, ×＞是环。 （4）对任意的f(x)，g(x)∈I[x], 如果f(x)≠0和g(x)≠0， 则必有f(x)×g(x)≠0 ， 所以＜I[x],+, ×＞无零因子 故＜I[x],+, ×＞是整环。 * 计算机学院 * 例2 给定代数系统 ，且 和 定义为： 。 其中，I是整数集合， 分别是通常数的加法、减法和法，证明 是具有幺元的可交换环。 即I是封闭的 证：1）证 是交换群 * 计算机学院 * ∵(a*b)*c=a+b-1+c-1=a+b+c-2 a*(b*c)=a+b+c-1-1=a+b+c-2 ∴*是可结合的 ∵a*1=a+1-1=a ∴1是I,*的幺元 令 ∴a的逆元存在 ∵ a*b=a+b-1=b*a ∴ 是交换群 * 计算机学院 * 2) 证 是含幺交换半群 ∴I关于?是封闭的 ∴I关于?是可结合的 * 计算机学院 * ∵令 ， ∴ 0是 的幺元 ∴ 是含幺交换半群 3）证明对 可 分配 * 计算机学院 * 故 是具有幺元的可交换环。 同理 * 计算机学院 * 习题十五 4、设半群?A，??中任何两个不同元素关于运算“?”不可交换。证明：对任何a?A，a?a=a。 证：（反证法） 设 构造 ， 则 即 可交换，与已知条件相矛盾 ∴ * 计算机学院 * 矛盾 6、证明：群中只有幺元是幂等元。 证：（反证法） 设 10、写出S3, 。中的全部子群。 解：?（1），（1 2）?，?（1），（1 3）?， ?（1），（2 3）?， ?（1），（1 2 3），（1 3 2）?和 二个平凡子群。 * 计算机学院 * 11、 设S,·和T,·都是G,·的子群,令 S∩T= {x|x∈S∧x∈T},ST= {s?t|s∈S∧t∈T} 。证明:S∩T,·和ST,·也都是G,·的子群。 证明： 1）∵ S、T是G的子群 ∴ e?S , e?T