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离散数学(第35讲习题课6)
计算机学院 计算机科学与工程学院 冯伟森 Email :fws365@scu.edu.cn 2008 年 11 月 26 日星期三 * 计算机学院 * 主要内容 * 计算机学院 * 第十四、十五、十六章 一、基本概念 代数系统、单位元或幺元、零元、幂等元、逆元、半群、含幺半群、群、子半群、群的阶、子群、交换群、循环群、生成元、元素的周期、右陪集、左陪集、子群的指数、不变子群(或正规子群) 、群的单一同态、满同态、同构、同态核、环、含零因子环、交换环、含幺环、整环、子环、环的同构与同态、域 * 计算机学院 * 二、基本要求 1、会求二元运算的特异元素; 2、判断或者证明给定集合和运算是否构成半群、含幺半群和群; 3、会运用群的基本性质证明相关的命题; 4、熟悉陪集的定义和性质; 5、熟练掌握不变子群、循环群的基本性质和证明方法(按定义证明和反证法) * 计算机学院 * 6、会求循环群的生成元及其子群; 7、掌握Lagrange 定理及推论,学习使用该定理解决简单的问题; 8、熟悉n元置换群 9、熟练掌握环、域的基本性质和证明方法(按定义证明和反证法) * 计算机学院 * 例1 证明下述代数结构是整环 <I[x],+, ×> 其中I[x]是所有的x的整系数多项式的集合, “+”、“×”表示多项式的加法和乘法。 证明:(1) 证明<I[x],+>是交换群(按定义证明) +在I[x]上结合律和封闭性成立 显然0∈ I[x] ,且对任意的 f(x)∈ I[x] ,显然- f(x)∈ I[x] ,且 f(x)+(- f(x))=0=(- f(x))+ f(x) 所以单位元和逆元存在,且+满足交换律, 所以 <I[x],+>是交换群。 * 计算机学院 * (2)证明<I[x], ×>是含幺交换半群 普通乘法满足结合律,且对任意的 f(x),g(x)∈ I[x] ,显然有f(x)×g(x)∈I[x] 封闭性成立,整数1是单位元,且满足交换律,所以 <I[x], ×>是含幺交换半群 (3)普通乘法对加法的分配律显然成立,所以 <I[x],+, ×>是环。 (4)对任意的f(x),g(x)∈I[x], 如果f(x)≠0和g(x)≠0, 则必有f(x)×g(x)≠0 , 所以<I[x],+, ×>无零因子 故<I[x],+, ×>是整环。 * 计算机学院 * 例2 给定代数系统 ,且 和 定义为: 。 其中,I是整数集合, 分别是通常数的加法、减法和法,证明 是具有幺元的可交换环。 即I是封闭的 证:1)证 是交换群 * 计算机学院 * ∵(a*b)*c=a+b-1+c-1=a+b+c-2 a*(b*c)=a+b+c-1-1=a+b+c-2 ∴*是可结合的 ∵a*1=a+1-1=a ∴1是I,*的幺元 令 ∴a的逆元存在 ∵ a*b=a+b-1=b*a ∴ 是交换群 * 计算机学院 * 2) 证 是含幺交换半群 ∴I关于?是封闭的 ∴I关于?是可结合的 * 计算机学院 * ∵令 , ∴ 0是 的幺元 ∴ 是含幺交换半群 3)证明对 可 分配 * 计算机学院 * 故 是具有幺元的可交换环。 同理 * 计算机学院 * 习题十五 4、设半群?A,??中任何两个不同元素关于运算“?”不可交换。证明:对任何a?A,a?a=a。 证:(反证法) 设 构造 , 则 即 可交换,与已知条件相矛盾 ∴ * 计算机学院 * 矛盾 6、证明:群中只有幺元是幂等元。 证:(反证法) 设 10、写出S3, 。中的全部子群。 解:?(1),(1 2)?,?(1),(1 3)?, ?(1),(2 3)?, ?(1),(1 2 3),(1 3 2)?和 二个平凡子群。 * 计算机学院 * 11、 设S,·和T,·都是G,·的子群,令 S∩T= {x|x∈S∧x∈T},ST= {s?t|s∈S∧t∈T} 。证明:S∩T,·和ST,·也都是G,·的子群。 证明: 1)∵ S、T是G的子群 ∴ e?S , e?T
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