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矢量分析简
如果包围点 P 的闭合面 ?S 所围区域 ?V 以任意方式缩小到点 P 时: 通量密度———散度 (divergence) 3. 散度: a.定义:矢量场中某点的通量密度称为该点的散度。 b.直角坐标系中的表达式: c.散度的意义 矢量的散度是一个标量,是空间坐标的点函数; 散度代表矢量场的通量源的分布特性。 (无源) (正源) (负源) 电磁场基础 第1章 矢量分析 第1章 矢量分析 一、矢量和标量的定义 二、矢量的运算法则 三、矢量微分元:线元,面元,体元 四、标量场的梯度 六、矢量场的环量和旋度 五、矢量场的通量和散度 七、亥姆霍茨定理 八、重要的场论公式 一、矢量和标量的定义 1.标量:只有大小,没有方向的物理量。 矢量表示为: 所以:一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。 其中: 为矢量的模,表示该矢量的大小。 为单位矢量,表示矢量的方向,其大小为1。 2.矢量:不仅有大小,而且有方向的物理量。 如:力 速度 、电场 等 如:温度 T、长度 L 、高度、电位等 标量表示为: 例1:在直角坐标系中, x 方向大小为 6 的矢量如何表示? 图示法: 力的图示法: 二、矢量的运算法则 1.加法: 矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。 a.满足交换律: b.满足结合律: 三个方向的单位矢量用 表示。 根据矢量加法运算: 所以: 在直角坐标系下的矢量表示: 其中: 矢量: ?模的计算: ?单位矢量: ?方向角与方向余弦: 在直角坐标系中三个矢量加法运算: 2.减法:换成加法运算 逆矢量: 和 的模相等,方向相反,互为逆矢量。 在直角坐标系中两矢量的减法运算: 推论: 任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形,其矢量和必为零。 3.乘法: (1)标量与矢量的乘积: 方向不变,大小为|k|倍 方向相反,大小为|k|倍 (2)矢量与矢量乘积分两种定义 a. 标量积(点积): ?两矢量的点积含义: 一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积, 其结果是一标量。 在直角坐标系中,已知三个坐标轴是相互正交的,即 有两矢量点积: 结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。 推论1:满足交换律 推论2:满足分配律 推论3:当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。 推论1:不服从交换律: 推论2:服从分配律: 推论3:不服从结合律: 推论4:当两个非零矢量叉积为零,则这两个矢量必平行。 b.矢量积(叉积): 含义: 两矢量叉积,结果得一新矢量,其大小为这两个矢量组成的平行四边形的面积,方向为该面的法线方向,且三者符合右手螺旋法则。 在直角坐标系中,两矢量的叉积运算如下: 两矢量的叉积又可表示为: x y z o 例2: 求: 中的标量 a、b、c。 解: 则: 设 例3: 已知 求:确定垂直于 、 所在平面的单位矢量。 解:已知 所得矢量垂直于 、 所在平面。 三、矢量微分元:线元、面元、体元 例: 其中 和 称为微分元。 1. 直角坐标系 在直角坐标系中,坐标变量为(x,y,z),如图,做一微分体元。 线元: 面元: 体元: 2. 圆柱坐标系 在圆柱坐标系中,坐标变量为 ,如图,做一微分体元。 线元: 面元: 体元: 3. 球坐标系 在球坐标系中,坐标变量为 ,如图,做一微分体元。 线元: 面元: 体元: 四、标量场的梯度 1. 标量场的等值面 可以看出:标量场的函数是单值函数,各等值面是互不 相交的。 以温度场为例: 热源 等温面 其方程为: 等高线 (1) 标量场--等值线(面) 形象描绘场分布的工具--场线 设一个标量函数? (x,y,z),若函数 ? 在点 P0 可微,则 ? 在点P0 沿任意方向 l 的方向导数为 l P0 P ? 对距离的变化率 2. 标量场的梯度 a.方向导数: 设 式中 ? , ? , ? 分别是任一方向 l 与 x, y, z 轴的夹角 则有: 当 , 最大 b.梯度 定义:标量场中某点梯度的大小为该点最大的方向导数, 其方向为该点所在等值面的法线方向。 为最大的方向导数。 等温线分布 ——梯度(gradient) ——哈密顿算子 式中 图0.1.3 等温线分布 梯度的方向为该点最大方向导数的方向. 梯度的大小为该点标量函数
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