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如果包围点 P 的闭合面 ?S 所围区域 ?V 以任意方式缩小到点 P 时： 通量密度———散度 (divergence) 3. 散度： a.定义：矢量场中某点的通量密度称为该点的散度。 b.直角坐标系中的表达式： c.散度的意义 矢量的散度是一个标量，是空间坐标的点函数； 散度代表矢量场的通量源的分布特性。 (无源） (正源) (负源) 电磁场基础 第1章 矢量分析 第1章 矢量分析 一、矢量和标量的定义 二、矢量的运算法则 三、矢量微分元：线元，面元，体元 四、标量场的梯度 六、矢量场的环量和旋度 五、矢量场的通量和散度 七、亥姆霍茨定理 八、重要的场论公式 一、矢量和标量的定义 1.标量：只有大小，没有方向的物理量。 矢量表示为： 所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。 其中： 为矢量的模，表示该矢量的大小。 为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。 2.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。 如:力 速度 、电场 等 如：温度 T、长度 L 、高度、电位等 标量表示为： 例1：在直角坐标系中， x 方向大小为 6 的矢量如何表示？ 图示法： 力的图示法： 二、矢量的运算法则 1.加法: 矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。 a.满足交换律： b.满足结合律： 三个方向的单位矢量用 表示。 根据矢量加法运算： 所以： 在直角坐标系下的矢量表示: 其中： 矢量： ?模的计算： ?单位矢量： ?方向角与方向余弦： 在直角坐标系中三个矢量加法运算： 2.减法：换成加法运算 逆矢量： 和 的模相等，方向相反，互为逆矢量。 在直角坐标系中两矢量的减法运算： 推论： 任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其矢量和必为零。 3.乘法： （1）标量与矢量的乘积： 方向不变，大小为|k|倍 方向相反，大小为|k|倍 （2）矢量与矢量乘积分两种定义 a. 标量积（点积）： ?两矢量的点积含义： 一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积， 其结果是一标量。 在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即 有两矢量点积： 结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。 推论1：满足交换律 推论2：满足分配律 推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。 推论1：不服从交换律： 推论2：服从分配律： 推论3：不服从结合律： 推论4：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。 b.矢量积（叉积）： 含义： 两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三者符合右手螺旋法则。 在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下： 两矢量的叉积又可表示为： x y z o 例2： 求： 中的标量 a、b、c。 解： 则： 设 例3： 已知 求：确定垂直于 、 所在平面的单位矢量。 解：已知 所得矢量垂直于 、 所在平面。 三、矢量微分元：线元、面元、体元 例： 其中 和 称为微分元。 1. 直角坐标系 在直角坐标系中，坐标变量为(x,y,z)，如图，做一微分体元。 线元： 面元： 体元： 2. 圆柱坐标系 在圆柱坐标系中，坐标变量为 ，如图，做一微分体元。 线元： 面元： 体元： 3. 球坐标系 在球坐标系中，坐标变量为 ，如图，做一微分体元。 线元： 面元： 体元： 四、标量场的梯度 1. 标量场的等值面 可以看出：标量场的函数是单值函数，各等值面是互不 相交的。 以温度场为例： 热源 等温面 其方程为: 等高线 (1) 标量场--等值线(面) 形象描绘场分布的工具--场线 设一个标量函数? (x，y，z)，若函数 ? 在点 P0 可微，则 ? 在点P0 沿任意方向 l 的方向导数为 l P0 P ? 对距离的变化率 2. 标量场的梯度 a.方向导数： 设 式中 ? , ? , ? 分别是任一方向 l 与 x, y, z 轴的夹角 则有： 当 ， 最大 b.梯度 定义：标量场中某点梯度的大小为该点最大的方向导数， 其方向为该点所在等值面的法线方向。 为最大的方向导数。 等温线分布 ——梯度(gradient) ——哈密顿算子 式中 图0.1.3 等温线分布 梯度的方向为该点最大方向导数的方向. 梯度的大小为该点标量函数