2009级应用数学专业《高等代数》第九章测验题.docVIP

2010级《高等代数》欧式空间 测验题 专业 __________ 姓名 __________ 学号 _______ 一、填空题（2x9=18分） 1已知=(1,1,1,2),=(3,1,-1,0),则之间的夹角为 , 的距离为 2.两个有限维欧氏空间同构的充要条件是 。 3． 已知为正交矩阵，则= ，= 。 4. 求中的一组基的度量矩阵 。 5在中定义内积：（X，Y）=，，则基的度量矩阵为 6. 已知是正交矩阵，并且也是正交矩阵，则= 7．设是任一正交矩阵，则 . 二 判断题（2x8=16分） 1 欧式空间中的正交变换在任意一组基下的矩阵为正交阵。 2 欧式空间中的对称变换在任意一组基下的矩阵为对称阵。 3 实矩阵的特征值全部为实数。 4 实对称矩阵的特征值全部为实数，并且相应的特征向量也全部为实特征向量 5 欧式空间中的任意一组标准正交基的度量矩阵总是单位矩阵E 6 中的基向量的度量矩阵总是单位矩阵E 7 正交变换是可逆变换 8 对称变换是可逆变换。 三 请说明如下定义的二元实函数是否构成内积，并说明理由，若构成内积，请求出在基下的度量矩阵。（ 12分） 在中，设，其中（）。 三 计算题（34分） 1 把变成单位正交的向量组. 2 已知 求正交矩阵使得为对角形矩阵 3 设二次型，通过正交变换化为标准行，求参数及所用的正交线性变换。 四 证明题（20分） 1 设是级实对称矩阵，且满足，证明为正交矩阵。 2、假设A是正交变换，且W是A的不变子空间，证明：也是A的不变子空间。 欧式空间测验答题 纸 专业 __________ 姓名 _____ _____ 学号 ____ ___ 一、填空题（每空2分，共2x9=18分） 1 2 3 4 5 6 7 二 判断题 （每题2分，共16分） 1 2 3 4 5 6 7 8 三 辨析题 （12分） 四 计算题（1-2每题10,分，3题14分） 1 2 3 四 证明题（每题10分，共20分） 1 2 6