数学物理方法第零章.ppt

本章小结 5、Gauss公式、Stokes公式的算子表示 当theta=0时，u关于l的方向导达到最大值，这表明梯度的方向是方向导数取得最大值的方向，其值等于该点处最大的方向导数； 当theta=pi/2时, u关于l的方向导数为零，l代表等值线的方向，; 当theta=pi时，u关于l的方向导达到最小值，u沿该方向函数值减少最快。 * * * 例8 ( L. P348 例13 ) 数学物理方程与特殊函数 第0章 场论初步 数学物理方程与特殊函数 第0章数学物理方程引言 数学物理方程与特殊函数 第0章 场论初步 数学物理方程与特殊函数 第0章 场论初步 场 论 初 步 1、▽和△算子 2、等值线（面）与梯度 3、向量场的通量与散度 4、向量场的环流量与旋度 a) Hamilton算子▽( 读作Nabla)定义为 1. ▽和△算子 b) Laplace算子△ ( 读作Delta)定义为 性质： 复习场的概念 函数 (物理量的分布) 数量场 (数值函数 ) 场 向量场(矢量函数 ) 如: 温度场, 电位场等 如: 力场,速度场等 物理量 数量（标量） 向量（矢量） 不依赖于时间的场为稳定场；反之，称为不稳定场。 a）数量场的等值线（面）：数量场中函数值相同的点构成的曲线（面）。 （c值不同对应不同等值面） （c值不同对应不同等值线） 2.等值线（面）与梯度 b) 数量场u =u(x, y, z)在点Ｍ(x0, y0, z0)处的梯度是向量 说明： 数量场的梯度是一个向量场; 梯度的大小为u在该点的最大变化率，梯度的方向 与等值线（面）相垂直，并指向函数的增加方向。 梯度与方向导数的关系为 与过该点的等位线垂直；指向电位增加的方向。 数值等于该点的最大方向导数。 例2 三维高度场的梯度 数值与过该点的等高线垂直；等于该点位移的最大变化率； 指向地势升高的方向。 例3 电位场的梯度 3.向量场的通量与散度 a) 通量的定义: 设有向量场 物理量的通量可用来判别向量场是否有源。若S 为闭合曲面，可根据净通量的大小判断闭合面中源的性质: ? 0 (有正源) ?0(有负源) ? = 0 (无源) 通量的物理意义： b) 散度的定义: 散度在直角坐标系下的形式： 利用积分中值定理, 两边取极限, 由Gauss公式, Gauss公式可写成 公式的右端可解释为单位时间内离开闭区域?的流 体的总质量? 左端可解释为分布在?内的源头在单位时间 内所产生的流体的总质量。 散度的基本运算公式： 可形式地写作： 例5. 若 解： 若向量场中??a=??0，称之为有源场；若向量场中处处??a=0，称之为无源场。 散度的物理意义 散度代表向量场的通量源的分布特性 ??a=?=0(无源） ??a=?0(负源，汇) ??a=??0(正源) 向量的散度是一个数量，是空间点的函数；它表示单位体积内向量通过其表面的通量。 a) 向量场的环流: 向量场 沿一条有向闭合曲线Γ的第二类曲线积分 称为 沿该曲线Γ的环流量。 4.向量场的环流量与旋度 环流量表示向量场绕给定曲线的旋转趋势。 均匀直线流动 非均匀直线流动 ?=0，无涡旋运动 ??0，有产生涡旋的源 流速场例子： b) 旋度：设闭合曲线Γ的面积为 ，当Γ收缩到一点M时，若极限 存在，则称 在点M处的旋度为 其中 为Γ所围曲面?的法线方向，其指向与Γ构成右手坐标系。旋度可表征矢量在某点附近各方向上环流强弱的程度，如果场中处处旋度为0，则称为无旋场。 由Stokes公式 其中 为曲面 ? 的法向量； 为曲线 Γ的单位切向量。 向量场 A 产生的旋度场 穿过 ? 的通量 为向量场 A 沿 Γ的环量 Stokes公式的向量形式为 （ 为标量） 旋度运算基本公式 （ 为常数） ① ② ③ ⑤ ⑥ ④ 例6. 求电场强度 的旋度 . 解: (除原点外) 这说明, 在除点电荷所在原点外, 整个电场无旋。 的外法向量, 计算 解: 例7. 设 练习 则 提示: 三式相加即得 作业： 数学物理方程与特殊函数 第0章 场论初步 数学物理方程与特殊函数 第0章数学物理方程引言 数学物理方程与特殊函数 第0章 场论初步 数学物理方程与特殊函数 第0章 场论初步 当theta=0时，u关于l的方向导达到最大值，这表明梯度的方向是方向导数取得最大值的方