数值计算方法--第4-1 讲--拉格朗日插值.pptVIP

插 值 法 第 二 章 8/eol/jpk/course/welcome.jsp?courseId=1220 插值法的一般理论 Newton插值 Lagrange插值 分段低次插值 Hermite插值、样条插值 1 3 4 2 5 知 识 结 构 图 插 值 法 Lagrange 插值 Newton 插值 样条插值 误差估计 分段插值 两点式 点斜式 等距节点 算 法 比 较 推广方法 均差 差分 一般理论 插值多项式 Newton 前插后插公式 问题的引入 插值法及其相关概念 一般插值多项式的原理 一般插值的程序设计 插值法概述 实际问题 试验数据 观测数据 内在规律 函数关系 期望 期望 期望 数学的期望与烦恼 实验数据是否存在内在规律? 实验数据的内在规律是什么? 内在规律是否有函数解析式? 反映内在规律的解析式是什么? 标准正态分布函数 ?(x) 查 函 数 表 插值引例 引例1 插值法概述 问题的引入 求?(1.014) ? ? ? ? ? ? ? ? ? x y 机翼下 轮廓线 求机翼下轮廓线上一点的近似数值 该点的值是多少? 引例2 插值法概述 问题的引入 求任一插值点 处的插值 已知 n+1个节点 其中 互不相同，不妨设 插值问题的提法 插值法概述 插值问题的一般提法 ? ? ? ? ? ? 构造平面曲线 使其通过所有节点，即： 插值法概述 插值法的基本思路 构造一个（相对简单的）函数 使其通过所有节点，即： 思路 目标 求点 处的插值 ? ? ? ? ? ? 插值法的一般定义 ？ 插值法的概念 插值函数 插值 插值法 主要概念 插值法的一般定义 插值法的概念 分段插值 插值多项式 三角插值 主要概念 一般插值多项式原理 证 设有 n+1个互不相同的节点 则存在唯一的多项式： 使得 构造方程组 定理 插值法原理 一般插值多项式原理 令： 方程组的矩阵形式如下： 所以方程组（4）有唯一解。 证毕 【注1】只要n+1个节点互异，满足上述插值条件的多项式是唯一存在的。 【注2】如果不限制多项式的次数，插值多项式并不唯一。 插值法原理 证 X={x0,x1,x2,x3}={10,11,12,13}; y={y0,y1,y2,y3}={2.3026,2.3979,2.4849,2.5649}; A=Transpose[Table[{x0^j,x1^j,x2^j,x3^j},{j,0,3}]]; MatrixForm[%]; AA=LinearSolve[A,y]//N X1={1,x,x^2,x^3}; X1.AA N[%/.x-11.75,10] 程序设计 插值法的程序设计 A={{0,-1},{1.5,4.25},{5.1,35.21}} g1=ListPlot[Table[A],Prolog-AbsolutePointSize[10]]; Interpolation[A,InterpolationOrder-2] g2=Plot[%[x],{x,0,5.1}]; Show[g1,g2] N[%%%[3.66],5] 绘制点图 点的绝对直径 插值、插入 程序设计 Lagrange插值多项式的构造 Lagrange插值的误差估计 Lagrange插值多项式的震荡 Lagrange插值的程序设计 Lagrange插值法的基函数 拉格朗日插值 已知 n+1个节点 其中 互不相同，不妨设 的插值多项式 要求形如 插值多项式的基函数 例如： n 次多项式的基（函数） n 个系数 n 次多项式 多项式族的构成 拉格朗日插值 插值多项式的基函数 先讨论 简单情形， 假定给定区间 及端点函数值， 线性插值基函数 线性插值多项式 拉格朗日插值 插值多项式的构造( ) 点斜式 两点式 在节点 和 上满足： 线性插值 基函数 线性插值多项式 拉格朗日插值 线性插值多项式的构造 两个插值点对应一次基函数，n+1个插值点对应 n 次基函数 n 次基函数应当怎样构造 ？ 拉格朗日插值 L-插值多项式的基函数 观察与思考 拉格朗日插值 插值多项式的基函数 基 函 数 的 定 义 观察与思考 拉格朗日插值 插值多项式的基函数 推而广之 拉格朗日插值 拉格朗日 插值多项式 拉格朗日(Lagrange) 插值多项式 拉格朗日插值 拉格朗日 插值多项式 特别函数 拉格朗日插值多项式 拉格朗日插值