数值分析7.1常微分方程初值问题数值解引言.pptVIP

xn 欧拉公式 改进欧拉公式 yn 误差 yn 误差 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 1.000000 1.000000 1.010000 1.029000 1.056100 1.090490 1.131441 0 4.8×10-3 8.7×10-3 1.2×10-2 1.4×10-2 1.6×10-2 1.8×10-2 1 1.005000 1.019025 1.041218 1.070802 1.107076 1.149404 0 1.6×10-4 2.9×10-4 4.0×10-4 4.8×10-4 5.5×10-4 5.9×10-4 7.2.3 单步法的局部截断误差与阶 初值问题(1.1),(1.2)的单步法可用一般形式表示为 其中多元函数?与f(x, y )有关，当?含有yn+1时，方法是隐式的，若不含yn+1则为显式方法，所以显式单步法可表示为 ?(x, y, h)称为增量函数，例如对欧拉法(2.1)有 它的局部截断误差已由(2.3) 给出, 对一般显式单步法则可如下定义. 定义1 设y(x)是初值问题(1.1),(1.2)的准确解, 称 为显式单步法(2.11)的局部截断误差. Tn+1之所以称为局部的，是假设在 xn前各步没有误差.当 yn=y(xn) 时，计算一步，则有 所以，局部截断误差可理解为用方法(2.11)计算一步的误差，也即公式(2.11)中用准确解y(x)代替数值解产生的公式误差. 根据定义, 显然欧拉法的局部截断误差为 即为(2.3)的结果. 这里 称为局部截断误差主项. 显然Tn+1=O(h2). 一般情形的定义如下： 定义2 设y (x)是初值问题的准确解，若存在最大整数 p 使显式单步法(2.11)的局部截断误差满足 则称方法(2.11)具有 p 阶精度. 　　若将(2.13)展开式写成 则 称为局部截断误差主项. 以上定义对隐式单步法(2.10)也是适用的.例如，对后退欧拉法(2.5)其局部截断误差为 这里p=1是1阶方法，局部截断误差主项为 　　同样对梯形法(2.7)有 所以梯形方法(2.7)是二阶的. 其局部截断误差主项为 上页 下页 第7章 常微分方程初值问题数值解法 7.1 引言 7.2 欧拉方法与改进的欧拉方法 7.3 龙格-库塔方法 7.1 引 言 本章将考察一阶方程的初值问题 我们知道，只要 f(x, y) 适当光滑—譬如关于 y 满足利普希茨(Lipschitz)条件 理论上就可以保证初值问题的解 y＝f(x) 存在并且唯一. 虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法，但解析方法只能用来求解一些特殊类型的方程，实际问题中归结出来的微分方程主要靠数值解法. 所谓数值解法, 就是寻求解y(x)在一系列离散节点 上的近似值 y1, y2,?,yn, yn+1,?. 相邻两个节点的间距hn=xn+1-xn 称为步长. 假定 hi=h (i=1,2,?)为定数, 这时节点为 xi=x0+ih (i=0,1,2,?) (等距节点). 初值问题的数值解法有个基本特点: 都采取“步进式”，即求解过程顺着节点排列的次序一步一步地向前推进. 首先，要对微分方程离散化，建立求解数值解的递推公式. 一类是计算 yn+1 时只用到前一点的值 yn，称为单步法. 另一类是用到 yn+1前面 k 点的值 yn, yn-1,?, yn-k+1，称为 k步法. 其次，要研究公式的局部截断误差和阶，数值解 yn 与精确解 y(xn) 的误差估计及收敛性，还有递推公式的计算稳定性等问题. 7.2 欧拉方法与改进的欧拉方法 7.2.1 欧拉法与后退欧拉法 在xoy平面上，微分方程(1.1)式的解y=f(x)称作它的积分曲线，积分曲线上一点(x, y)的切线斜率等于函数f(x, y)的值. 如果按 f(x, y) 在xoy平面上建立一个方向场，那么，积分曲线上每一点的切线方向均与方向场在该点的方向相一致. 　　基于上述几何解释，我们从初始点P0(x0, y0)出发,先依方向场在该点的方向推进到x=x1上一点P1，然后再从P1点依方向场在该点的方向推进到 x=x2 上一点P2 , 循环前进做出一条折线P0 P1 P2?. 一般地，设已做出该折线的顶点Pn,过Pn(xn, yn)依方向场的方向再推进到Pn+1(xn+1, yn+1)，显然两个顶点Pn,Pn+1的坐标有关系 这就是著