用DFT计算线性卷积.docVIP

用DFT计算线性卷积 1 基本原理 1.1用 DFT实现线性卷积的原理 线性与圆周卷积分别由下式给出 其中 x[n] : 0≤n ≤P －1 ( 0≤m ≤P －1 y[n]: 0≤n ≤L －1 ( 0≤n － m ≤L －1 w[n]的最大长度为 ：L+P-1，单 wp[n] 的长度为 N。 当N≥L+P －1 , wp[n] = w[n]; 当 N ≤ L+P －1, wp[n] ≠ w[n]; 所以要使圆周卷积等于线性卷积而不产生混叠的必要条件为：N ≥ P+L－1 即线性与圆周卷积一致的样本为: P+L － N－1≤ n ≤N －1 1.2 重叠保留法原理 设h(n)的点数为M，信号x(n)为很长的序列。我们将x(n)分解为很多段，每段为L点，L选择成和M的数量级相同，用xi(n)表示x(n)的第i段： 要求x(n)和h(n)的卷积时，若x(n)的点数很多，远大于h(n)的点数M时，通常不允许等x(n)全部采集齐后再进行卷积，否则，使输出相对于输入有较长的延时。因此需要采用分段卷积或称分段过滤的办法，即将x(n)分成点数和h(n)相仿的段，分别求出每段的卷积结果，然后用一定方式把它们合在一起，便得到总的输出，一种分段卷积的方法就是重叠保留法。 设h(n)的点数为M，信号x(n)为很长的序列。我们将x(n)分解为很多段，每段为L点，L选择成和M的数量级相同，取N=L+M-1用xi(n)表示x(n)的第i段。重叠保留法先将x(n)分段，每段L=N-M+1个点，由于xi(n)*h(n)为L+M-1 点，故先对xi(n)及h(n)补零值点，补到N点不同之处是，序列中补零处不补零，而在每一段的前边补上前一段保留下来的（M-1）个输入序列值， 组成L+M-1点序列xi(n)，如图8-27（a）所示。如果L+M-12m， 则可在每段序列末端补零值点，补到长度为2m，这时如果用DFT实现h(n)和xi(n)圆周卷积，则其每段圆周卷积结果的前（M-1）个点的值不等于线性卷积值，必须舍去。 为了说明以上说法的正确性，我们来看一看图8-28。任一段xi(n)（为N点）与h(n)（原为M点，补零值后也为N点）的N点圆周卷积 由于h(m)为M点，补零后作N点圆周移位时，在n=0,1,…,M-2的每一种情况下，h((n-m))NRN(m)在0≤m≤N-1范围的末端出现非零值， 而此处xi(m)是有数值存在的，图8-28（c），（d）为n=0, n=M-2的情况，所以在0≤n≤M-2 这一部分的yi(n)值中将混入xi(m)尾部与h((n-m))N·RN(m)尾部的乘积值，从而使这些点的yi(n)不同于线性卷积结果。但是从n=M-1开始到n=N-1，h((n-m))NRN(m)=h(n-m)（如图8-28（e），（f）所示），圆周卷积值完全与线性卷积值一样，yi(n)就是正确的线性卷积值。因而必须把每一段圆周卷积结果的前(M-1)个值去掉， 如图8-28（g）所示。 ? 因此，为了不造成输出信号的遗漏，对输入分段时，就需要使相邻两段有M-1个点重叠（对于第一段，即x0(n)，由于没有前一段保留信号，则需要在序列前填充M-1 个零值点），这样，若原输入序列为x′(n)（n≥0 时有值），则应重新定义输入序列 0≤n≤N-1 其他n （ i=0, 1, … ） 在这一公式中，已经把每一段的时间原点放在该段的起始点，而不是x(n)的原点。这种分段方法示于图8-27中，每段xi(n)和h(n)的圆周卷积结果以yi(n)表示，如图 8-27（b）所示，图中已标出每一段输出段开始的(M-1)个点，0≤n≤M-2部分舍掉不用。把相邻各输出段留下的序列衔接起来，就构成了最后的正确输出， 即 式中: M-1≤n≤N-1 其他n 这时，每段输出的时间原点放在yi ′ (n)的起始点，而不是y(n)的原点。 图1-1 用保留信号代替补零后的局部混叠现象 图1-2 重叠保留法示意图 2函数说明 由于是用重叠保留法计算线性卷积，根据重叠保留法的原理，在MATLAB软件的环境下可以创造一个相应的函数求x(n)和h(n)的线性卷积。设h(n)的点数为M，信号x(n)为很长的序列。把x(n)分成长为L 的小段xi(n),每段与前一段重叠M-1 个样本的多段,保留后面的(L-M+1)个输出样本,最后把这些输出连成一个序列，结果即为x(n)和h(