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圆周角定理中考题（含解析） 　 一．解答题（共4小题） 1．已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC． （1）求证：AB=AC； （2）若AB=4，BC=2，求CD的长． 2．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°． （1）判断△ABC的形状：　　； （2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论； （3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积． 3．已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D． （Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长； （Ⅱ）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长． 4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C， （1）求证：CB∥PD； （2）若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直径． 　 圆周角定理中考题（含解析） 参考答案与试题解析 　 一．解答题（共4小题） 1．（2016?宁夏）已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC． （1）求证：AB=AC； （2）若AB=4，BC=2，求CD的长． 【解答】（1）证明：∵ED=EC， ∴∠EDC=∠C， ∵∠EDC=∠B， ∴∠B=∠C， ∴AB=AC； （2）方法一： 解：连接AE， ∵AB为直径， ∴AE⊥BC， 由（1）知AB=AC， ∴BE=CE=BC=， ∵△CDE∽△CBA， ∴， ∴CE?CB=CD?CA，AC=AB=4， ∴?2=4CD， ∴CD=． 方法二： 解：连接BD， ∵AB为直径， ∴BD⊥AC， 设CD=a， 由（1）知AC=AB=4， 则AD=4﹣a， 在Rt△ABD中，由勾股定理可得： BD2=AB2﹣AD2=42﹣（4﹣a）2 在Rt△CBD中，由勾股定理可得： BD2=BC2﹣CD2=（2）2﹣a2 ∴42﹣（4﹣a）2=（2）2﹣a2 整理得：a=， 即：CD=． 　 2．（2015?德州）如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°． （1）判断△ABC的形状：　等边三角形　； （2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论； （3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积． 【解答】证明：（1）△ABC是等边三角形． 证明如下：在⊙O中 ∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角， ∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC， 又∵∠APC=∠CPB=60°， ∴∠ABC=∠BAC=60°， ∴△ABC为等边三角形； （2）在PC上截取PD=AP，如图1， 又∵∠APC=60°， ∴△APD是等边三角形， ∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°． 又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°， ∴∠ADC=∠APB， 在△APB和△ADC中， ， ∴△APB≌△ADC（AAS）， ∴BP=CD， 又∵PD=AP， ∴CP=BP+AP； （3）当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大． 理由如下，如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E． 过点C作CF⊥AB，垂足为F． ∵S△APB=AB?PE，S△ABC=AB?CF， ∴S四边形APBC=AB?（PE+CF）， 当点P为的中点时，PE+CF=PC，PC为⊙O的直径， ∴此时四边形APBC的面积最大． 又∵⊙O的半径为1， ∴其内接正三角形的边长AB=， ∴S四边形APBC=×2×=． 　 3．（2014?天津）已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D． （Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长； （Ⅱ）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长． 【解答】解：（Ⅰ）如图①，∵BC是⊙O的直径， ∴∠CAB=∠BDC=90°． ∵在直角△CAB中，BC=10，AB=6， ∴由勾股定理得到：AC===8． ∵AD平分∠CAB， ∴=， ∴CD=BD． 在直角△BDC中，BC=10，CD2+BD2=BC2， ∴易求BD=CD=5； （Ⅱ）如图②，连接OB，OD． ∵AD平分∠CAB，且∠CAB=60°， ∴∠DAB=∠CAB=30°， ∴∠DOB=2∠DAB=60°． 又∵OB=OD， ∴△OBD是等边三角形， ∴BD=OB=OD． ∵⊙O的直径为10，则OB=5， ∴BD=5． 　 4．（2013?黔西南州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C， （1）求证：CB∥PD； （2）若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直径． 【