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2014年全国数学竞赛初二决赛试题
2014年全国初中数学联合竞赛（初二组）决赛
试题参考答案及评分标准
说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.
一、选择题(本题满分42分，每小题7分)
1、C 2、D 3、B 4、B 5、A 6、C
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
1、 2、 3、15 4、3
三、（本大题满分20分）
如图，已知凸四边形ABCD中，，AC平分，过C作AB的垂线交于E．
求证：．
证明：如图，作B、E关于AC的对称点E’、B’，连接EB’，……………………5分
因为AC为的平分线，
故在AD的延长线上，且，……（10分）
故
所以，（15分）
又⊥，故，
所以（20分）
四、（本大题满分25分）
已知三个一次函数、和，
（1）若这三个函数图像能够围成三角形，求实数b的取值范围；
（2）若这三个函数图像所围成的三角形面积为时，求实数b的值．
解：（1）设直线l1:与l2:交于点，（5分）
只有当直线：过时，三直线不能构成三角形，此时，
故当时，三直线围成三角形． （10分）
（2）联立解得；
即直线的交点
联立解得，
即直线的交点 （15分）
则三直线围成的三角形为，其面积
（20分）
故，则或者, 解得或者．
所以，所求的实数或者． （25分）
（本题满分25分）
设不全相等的非零实数满足，求的值.
解 由得.…………………………5分
设，，，则，且，…………10分
通分即得，
展开后整理得，所以. …………… ……15分
即，所以，分解因式得
.……………………………………20分
又不全相等，所以，故.……25分
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