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1) 对称性。总刚为对称矩阵，所有对称于主对角线的元素都相等。利用其对称性可在计算机中只存贮矩阵的上三角或下三角部分。 (3) 总刚的特性 2) 奇异性。总刚是奇异矩阵。其物理意义是，整体结构可在无约束条件下作刚体运动。故解题时，必须处理边界条件。只有对整体刚度矩阵［K］进行修改，才能求出节点位移。 3) 稀疏性。总刚为稀疏矩阵。r与s分属不同单元时，总刚子矩阵[Krs]＝［0］。单元越多，零元素越多，矩阵就越稀疏。一个高阶总刚总是一个高度稀疏的矩阵(一个节点只与周围6~8个节点有关，非零元素仅占5％左右)。 4) 带状性。即总刚的非零元素呈带状分布，集中在主对角线两侧。 每一行第一个非零元素到主对角线元素的元素个数，称为半带宽。 B=(相邻节点号最大差值＋1)×2 B 带状分布与半带宽 总刚的半带宽B与节点编号方式（次序）有密切关系。 上图编号方式相邻节点号最大差值为5，故 B=(5+1)×2=12。 下图相邻节点号最大差值为11，则总刚半带宽 B=(11+1)×2=24。 仅编号方式不同，导致两者半带宽相差一倍。 总刚是对称矩阵，通常只存入半带宽的元素。 为节省计算机内存量，带宽应尽量小。故编号方式应使相邻节点号之差值尽量小，上图编号方式是最好方案。 节点编号 6. 边界条件的处理 总刚是一个奇异矩阵，不存在逆矩阵。故在形成总刚并建立线性代数方程组后，不能直接求解节点位移，必须先考虑边界条件并进行处理。 只有经过边界条件处理，总刚才是非奇异矩阵，才能从总刚方程求得节点位移分量的唯一解。 （1）必要性 边界条件就是支承条件，就是使整个结构受到必要的约束，消除刚体位移。 （2）边界条件 图示结构受到三个约束：节点1在铅直方向，节点2在水平和铅直方向都受到约束，即v1=u2=v2=0 ，这样就可以消除其刚体位移。 R4y 5 1 2 3 4 (1) (2) (3) (4) R3x R5x R5y 支撑条件 前例总刚是10×10阶，总刚方程是10阶线性方程组，由于v1=u2=v2=0，故可把v1、u2、v2所在的第2、3、4行和列统统划去。 （3）处理方法 如用“×”表示非零元素，并写出对称矩阵的下三角阵，则处理前的总刚方程为 10×10阶 处理后的总刚方程为 边界条件处理后，总刚方程变为7阶线性方程组，总刚变成非奇异矩阵。 7个线性方程中含7个未知位移量，故可求得唯一解。 7×7 阶 总刚处理后有二个变化： 一是总刚降阶，如整个结构原有n个节点和r个约束，则总刚在处理前为2n×2n阶，而处理后变为(2n-r) ×(2n-r)阶。 二是总刚变为非奇异矩阵。 边界约束处理后的总刚，其对称性和稀疏性并无影响。 求解(2n-r)阶的总刚方程即可得(2n-r)个节点位移分量，代入式{σ}=[S]{δ}e就可求得各单元的应力分量。 7.平面应力问题有限元法计算步骤 根据具体的结构及给定条件，给出计算简图，标明尺寸，外载及支承条件。 计算单刚。可按公式计算单元面积，应变矩阵[B]，弹性矩阵[D]，最后形成单刚。 选定坐标系，划分单元，编出单元号与节点号(注意节点编号对总刚带宽的影响)，准备各节点坐标值，材料的弹性模量、泊松比，载荷值及其作用的节点号与作用方向，约束的节点及约束方向或已知位移值。 将单刚组集成总刚［K］。 将载荷移置到节点上，并形成载荷向量｛R｝。 边界条件处理。 求解线性方程组以得到节点的位移分量，并可从而求得单元应力 8.3 轴对称问题 若弹性体的几何形状、物理性质、约束条件及外载荷都是轴对称的，则物体的应力、应变、位移等就是轴对称的。 在轴对称问题中，过对称轴任意面的应力、应变和位移是相同的，因而这类空间问题可以简化为类似平面问题处理。 轴对称问题有限元法与平面问题有限元法基本类似，但在数学上要繁琐一些。 1. 应力应变关系 轴对称问题采用柱坐标(r,θ, z)表示一点的位移。 取z轴为对称轴，这时，应变和位移只与z和r有关，与θ无关，即 轴对称体的三角形单元 u=u(r,z) w=w(r,z) 轴对称问题需考虑四个应力分量 对应的应变分量为 几何方程 物理方程 弹性矩阵 2. 三角形截面环单元 轴对称问题中，采用三角形截面的圆环单元，它是由roz面上的三角形ijm环绕对称轴z旋转一周得到的。 相邻单元在其棱边互相连接，单元的棱边都是圆，称为节圆。每个节圆与roz平面的交点就是节点。 各单元在roz平面上形成三角形网格。基本未知量仍取节点位移。 单元节点位移可表示为 仿照平面问题，取线性位移函数 求得单元位移 将单元位移代入几何方程，得单元体内的应变 单元的εr、εz、γrz应变分量都是常量；但环向正应变εθ 不是常量，它与 fi、fj、fm中的r有关。 位移法中，以六个节点位移分量作为基